Эмпирическая функция распределения и ее свойства

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть – выборка объема из генеральной совокупности, имеющей ФР .

Опр. ЭФР, соответствующей выборке называется функция

, где , – число элементов выборки, строго меньших , – теоретическая ФР. Где - индикатор множества , а - число выборочных значений, не превосходящих .

Для каждой выборки , ЭФР определена на всей числовой прямой и обладает всеми свойствами обычной ФР:

1.

2. неубывающая

3. непрерывная слева

4. кусочно-постоянная функция и может возрастать только в точках вариационного ряда:

Если все значения различны, то

В общем случае , где – частота значения, а – различные среди .

ЭФР является обычной ФР ДСВ :

Однако существует и принципиальное отличие между ЭФР и обычной ФР:

ЭФР может изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом, поскольку в общем сучае ЭФР является с.в.: , где – копии .

Важнейшим свойством ЭФР является то, что независимо от конкретной выборки из генеральной совокупности при увеличении числа наблюдений над с.в. она сближена с неизвестной теоретической ФР .

Теорема. Пусть – ЭФР, соответствующая выборка из генеральной совокупности, имеющей теоретическая ФР , тогда:

, (имеет место поточечная сходимость)

Доказательство:

принимает два значения: 0 и 1.

, , т.к. с.в. – копии .

,

,

Поскольку последовательность с.в. – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечную дисперсию , то эта последовательность удовлетворяет ЗБЧ, следовательно,

,

Т.о. ЭФР при больших в каждой точке можно считать приближенным значением (оценкой) неизвестной ФР

Справедлив и следующий более сильный результат.

Теорема Гливенко.

В условиях предыдущей теоремы:

Отклонение ЭФР от при больших может как угодно малым на всей числовой прямой.

Следующий резуьтат, принадлежащий Колмогорову, позволяет при больших оценивать вероятности заданных отклонений с.в. от нуля.

Теорема Колмогорова.

Если теоретическая ФР является непрерывной, то

Функция доопределенная нулем при является ФР и называется функцией Колмогорова. Значения этой функции табулированы. Теорема Колмогорова дает приличное приближение при .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\