Уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим дифференциальное уравнения вида

, (5)

где – постоянные, а – непрерывная функция своего аргумента . Если , то уравнение (5) является однородным и интегрируется, как указано в п. 1.3.1.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая:

1) Определитель . Вводя новые переменные , где – решение системы

получим однородное уравнение.

2) Определитель . Подстановка позволяет привести уравнение (5) к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Уравнение принадлежит к первому типу, поскольку

и .

Находим решение системы

Производим в исходном уравнении замену переменных, полагая . Тогда .

Уравнение преобразуется к виду

,

, или

.

В полученном однородном уравнении положим , откуда . Подставляя в последнее уравнение и преобразуя, придём к уравнению с разделяющимися переменными:

,

, или

.

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получим:

,

,

или после замены :

_.

Возвращаясь к переменным и , после элементарных преобразований найдём общий интеграл исходного уравнения

.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Уравнение принадлежит ко второму типу, поскольку

.

Положим поэтому , . Данное уравнение примет вид:

, или

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

.

Возвращаясь к исходным переменным , получим окончательный ответ

.