Задачи для практического занятия по теме: «Корреляционный и регрессионный анализ»

37.1. По выборке объемом n = 51, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), найден выборочный коэффициент корреляции r = 0,6. Требуется при a = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Ответ: коэффициент корреляции значим.

37.2. По выборке объемом n = 50, разбитой на m = 5 групп по переменной Х, найдено корреляционное отношение h_ух = 0,754. Проверить значимость корреляционного отношения.

Ответ: корреляционное отношение значимо.

37.3. Предполагая, что зависимость национального дохода (Y) некоторого государства от года (Х) имеет вид y = a × b^{x – 1997}, найти методом наименьших квадратов а и b, если известен национальный доход за семь лет.

Таблица 37.1.

Х
Y млрд. у. е.	45,5	48,8	55,8	65,7	86,0	96,3	105,0

Указание. Прологарифмируем данную регрессионную зависимость

ln y = ln a + (x – 1997) × ln b.

Введем новые обозначения х^* = х – 1997, у^* = ln y, a^* = ln a, b^* = ln b. Получим

у^* = а^* + х^* b^*.

Действуя далее, как в случае линейной регрессии, получим

,

.

Искомые коэффициенты найдем из соотношений , .

Ответ: а = 43,1; b = 1.167.

37.4. Пусть зависимость признака Y от признака Х характеризуется следующей таблицей.

Таблица 37.2.

	Х	- 2	- 1
	Y	- 2	- 3	- 3	- 1

Предполагая, что у = а х² + b х + с, найти параметры а, b, с.

Ответ: а = 1, b = 1, с = - 3.

37.5. По данным таблицы 37.3 оценить тесноту корреляционной связи Y на Х по выборочному корреляционному отношению.

Таблица 37.3.

Х Y				ny
nx

Ответ: h_ху = 0,97.

37.6. По данным исследования 30 предприятий между капиталовложениями Х (млн. руб.) и выпуском продукции Y (млн. руб.) получены следующие уравнения регрессии у = 1,2 х + 1 и х = 0,3 у + 2. Найти коэффициент корреляции и оценить его значимость на уровне a = 0,05.

37.7. Зная, что дисперсии СВ Х и Y равны, а угол между линейными регрессиями Y на Х и Х на Y равен p/4, найти коэффициент корреляции.

Ответ: .

Проверочные вопросы.

1. Какая зависимость называется статистической, корреляционной?

2. Как можно аналитически задать корреляционную зависимость?

3. Сформулируйте основные задачи корреляционного и регрессионного анализа.

4. Что называется коэффициентом корреляции и каковы его свойства?

5. Как проверяется гипотеза о значимости выборочного коэффициента корреляции?

6. Какая величина служит для характеристики тесноты корреляционной зависимости любого вида, каковы ее свойства?

7. Как проверяется гипотеза о значимости выборочного корреляционного отношения?

8. Запишите виды уравнений линейной парной регрессии.

9. В чем заключается метод наименьших квадратов (МНК)?

10. Примените МНК для нахождения коэффициентов линейной регрессии.

11. Дайте геометрическую интерпретацию коэффициента корреляции.

12. Как проверяется значимость уравнения регрессии?

13. Какая матрица называется корреляционной?

14. Сформулируйте основные задачи многомерного корреляционного анализа.

Примеры для самостоятельного решения.

Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (Х, Y) представлены в корреляционной таблице. Найти:

1) выборочный коэффициент корреляции и выборочное корреляционное отношение и проверить их значимость;

2) уравнения прямых регрессий Y на Х и Х на Y и проверить их значимость.

Построить уравнения полученных регрессий.