Действительно, обратимся к уравнению неразрывности

Подставляя в это уравнение выражения для компонентов скорости и , получим

(3.3)

или

т.е. уравнение Лапласа.

Использование уравнения Лапласа формально упрощает задачу исследования потока жидкости, так как приводит к определению одной только функции (вместо двух: u и v). Однако решение уравнения Лапласа очень часто более сложную задачу, нежели прямое определение упомянутых функций.

При исследовании плоского потенциального движения наряду с потенциалом скорости большое значение имеет еще одна функция координат, называемая функцией точка , которая удовлетворяет условиям

и . (3.4)

Пусть такая функция существует для некоторого потока. Тогда ее полный дифференциал

(3.5)

Из уравнения линии тока того же движения можно получить

Следовательно, прослеживая значения функции вдоль линии тока, заметим, что Иными словами, значение функции тока вдоль линии тока неизменно и равно ее значению на границе области движения. Будем давать функции ряд постоянных значений, т.е. представим ее в виде

(3.6)

где С – какой-то параметр. В плоскости движения этому выражению будет соответствовать семейство кривых (рис. 3.2), совпадающих с линиями тока на этом рисунке, принимая его размер в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, равным единице. Выделим две соседние линии тока, обозначив их через i и i+ 1; значения функции тока на этих линиях обозначим через и .

Расход жидкости, протекающей в элементарной струйке между двумя выделенными линиями тока, равняется , где - ширина элементарной струйки в некотором ее сечении, проведенном нормально к скорости в этом сечении, и V- средняя в этом сечении скорость струйки.

Прежде чем перейти к дальнейшим рассуждениям, обратимся к вспомогательной фигуре на рис.3.3. На этом рисунке сечение элементарной струйки проведено под углом к направлению скорости V. Пусть высота этого косого сечения равна d; расход q = Va, где а – размер сечения в плоскости, перпендикулярной к скорости V. Но , где является, как это видно из рис.3.3, углом между вектором скорости и нормалью к косому сечению. Записывая цепочку тождественных выражений, получим

,

где V_n – проекция вектора скорости V на внутреннюю нормаль к сечению d, которую мы будем называть нормальной скоростью.

Возвращаясь к рис. 3.2, заменим сечение составным, состоящим из двух частей: и . Расход, проходящий через составное сечение (по аналогии с рассуждениями применительно к случаю, представленному на рис. 3.3 и с учетом знаков проекции скорости V), будет равен:

Переходя к пределу при неограниченном сближении линий тока i и (j+1) и рассматривая расход элементарной струйки как приращение расхода всего потока при возрастании его сечения, получим