Понятие нечеткого множества

В классической теории множеств непустое подмножество А из универсального множества Х однозначно определяется характеристическим функционалом

(9.1)

т. е. подмножество А определяют как совокупность объектов, имеющих некоторое общее свойство, наличие или отсутствие которого у любого элемента х задается характеристическим функционалом. Причем относительно природы объекта не делается никаких предположений.

Задание некоторого множества в этом случае эквивалентно заданию его характеристического функционала, поэтому все операции над множествами можно выразить через действия над их характеристическими функционалами.

Основные операции объединения, пересечения и разности двух подмножеств А и В из Х с характеристическими функционалами I_A (x) и I_B (x) соответственно определяются следующим образом для каждого x Î X:

(9.2)

Операции объединения и пересечения могут быть записаны также в несколько ином виде:

(9.3)

Однако такие понятия, как множество «больших» или «малых величин», уже не являются множествами в классическом смысле, так как не определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести классификационную процедуру (9.1) и четко отнести каждый объект к определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникает необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с непрерывной градацией степеней принадлежности.

Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х = = { x }вводится уже не функционал вида (9.1), а характеристическая функция, задающая для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству А. Эта характеристическая функция для нечеткого множества традиционно носит название функции принадлежности.

Нечеткое подмножество А множества Х характеризуется функцией принадлежности m _A: X ® [0,1], которая ставит в соответствие каждому элементу x Î X число m _A (x) из интервала [0, 1], характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству А. Причем 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.

Точкой перехода А называется элемент х множества Х, для которого m _A (x) = 0,5.

Если в классической теории множеств понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле ТНМ можно рассматривать как теорию функций специального вида - обобщенных характеристических функций.

Численное значение функции принадлежности характеризует степень принадлежности элемента некоторому нечеткому множеству, являющемуся в выражении естественного языка некоторой, как правило, элементарной характеристикой явления (степени загрязненности участка газопровода, степени эффективности режима, степени обводненности продукции газовых скважин и т. д.).

Л. Заде ввел понятие лингвистической переменной, значениями которой являются слова и или предложения естественного языка, которые описываются нечеткими значениями. Например, лингвистическая переменная ВОЗРАСТ принимает нечеткие значения молодой, не молодой, старый, не очень старый и т. д.

Нечеткое подмножество, обозначаемое термином старый, можно определить функцией принадлежности:

(9.4)

Рис. 9.1. Функция принадлежности для значений термина старый

В этом примере носителем нечеткого множества старый является интервал [50, 100], а точкой перехода - значение x = 55 (рис. 9.1).

Наиболее сложно принимать решение, когда состояние системы приходится на переходный режим между этими двумя крайними состояниями и когда этот переход не скачкообразен, а непрерывен. Такая ситуация очень типична для реальных систем. Многие понятия естественного языка не могут быть формализованы с помощью классических математических понятий, так как граница между двумя классифицируемыми состояниями (например, «чистый» - «загрязненный») является нечеткой, размытой.

Таким образом, основное предположение состоит в том, что нечеткое множество, несмотря на расплывчатость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому элементу х числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А.

Носителем нечеткого подмножества А называется четкое подмножество из Х, на котором

. (9.5)

Для практических приложений носители нечетких множеств всегда ограничены. Так, носителем нечеткого множества допустимых режимов для системы может служить четкое подмножество (интервал), для которого степень допустимости не равна нулю (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Понятие носителя нечеткого множества (выделен жирной чертой)

Высотойd нечеткого множества А называется максимальное значение функции принадлежности этого множества . Если d = 1, то нечеткое множество называется нормальным.

Одноточечным нечетким множеством называется множество, носитель которого состоит из единственной точки. Нечеткое множество А иногда рассматривают как объединение составляющих его одноточечных множеств: A = m₁/ x ₁ + … + m _n / x_n, где знак «+» обозначает операцию объединения; m _i – степень принадлежности x_i множеству А.

F - множествами называют совокупность всех нечетких подмножеств F (X)произвольного (базового) множества Х, а их функции принадлежности - F -функциями. Как правило, под m _A понимают сужение функции принадлежности со всего Х на s(A).

Для обозначения F -множеств используют запись вида

. (9.6)

Например,

.

Кроме того, при необходимости данная форма обозначения может применяться и для обычных (четких) подмножеств из Х.