Уравнения равновесия и их различные формы

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия:R=0, Mo=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

∑xi =0, ∑Mix=0;

∑yi =0, ∑Miy=0; (1.20)

∑zi =0, ∑Miz=0.

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

∑xi=0;

∑yi=0; (1.21)

∑Mo=0,

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

∑xi =0;

∑MA=0; (1.22)

∑MB=0.

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

∑MA=0;

∑MB=0; (1.23)

∑MC=0.

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой. Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

∑xi =0;

∑Mo=0. (1.24)

Рисунок 1.26

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

∑zi =0;

∑Mix=0; (1.25)

∑Miy=0.

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

∑xi =0;

∑yi =0; (1.26)

∑zi =0

и два уравнения для плоской системы:

∑xi =0;

∑yi =0. (1.27)

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.