Доказательство. Обозначим . Тогда, в силу свойства гауссовости последовательности , имеем Пусть любые ,а , тогда имеем

Отсюда следует, что

Поэтому

Значит, , так как и , при т.е.

. Доказательство закончено.

1.1.2. Лемма 3. Пусть . Пусть , , причем . Тогда справедливо равенство .

Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.

1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть - пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в . Пусть - ортонормированное семейство функций в , т.е. , где - символ Кронекера. Обозначим . Пусть – счетное семейство независимых в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд P - п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).

Пусть . Очевидно, что:

1) ;

2) , где - скалярное произведение в

;

3) ;

4) , где - норма в .

Обозначим . Очевидно, что:

1) для любого - гауссовская случайная величина, причем для любых n;

(1)

Отсюда следует, что - квадратично интегрируем. Рассмотрим , причем без ограничения общности можно считать, что . В силу (1), имеем

Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой , т.е. для любого , причем в силу леммы 2 случайная величина имеет гауссовское распределение.

Построенный процесс обладает свойствами.

;

Траектории - непрерывны.

Действительно, в силу леммы 3 имеем , отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.

(следует из леммы 2).

Осталось установить, что – процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что Действительно,

Доказательство закончено.

1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим . Отсюда следует, что для любого и ограниченного n дифференцируем по t, т.е. P - п. н. существует , причем . Очевидно, что при для любого .

2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что .

1.2. Теорема 4. Обозначим . Тогда относительно меры Р винеровский процесс является мартингалом.

Доказательство. Нам надо проверить: 1) ; 2) при . Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что , но в силу того, что имеет независимые приращения имеем .

Доказательство закончено.

1.2.1. Замечание. Очевидно, что является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.