Понятие интегральной суммы и определенного интеграла. Теоремы об интегрируемой функции

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_{i -1} , x_i ], …, [ x_{n -1} , x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [ x_{i -1} , x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_{i -1} , x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается .
Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .

В этом определении предполагается, что b > a. Для других случаев примем, тоже по определению:

Если b=a, то ; если b < a, то .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство . Требование непрерывности f (x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [ a, b ] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f (x) неограничена на [ a, b ], то она неограничена на каком-либо [ x_{i -1} , x_i ], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).