Этап 4. Спецификация математической модели

Спецификация математической модели — определение такой математической функции, которая должна воспроиз­водить определенное количество закономерностей зависимой переменной.

Определение вида математической функции, которая описывает влияние факторов на зависимую переменную.

Общий вид множественного регрессионного уравнения для выборочных данных можно представить следующим ма­тематическим выражением, которое имеет следующую струк­туру:

,

где У_i — случайная зависимая переменная;

У_pi — расчетные значения зависимой переменной;

f (Х_1i, X_2i, X_3i,...) — математическая функция, отражаю­щая детерминированную составляющую У_i , которая дикту­ется законодательной, правовой средой общества в сочета­нии с потребностями членов общества;

Х_1i, X_2i, X_3i — причины, объясняющие переменные (фак­торы), оказывающие существенное влияние на У_i;

е_i = У_i + У_pi — случайная составляющая (остатки) У_i , ко­торая учитывает влияние факторов, не вошедшие в модель;

i — порядковый номер измерения i = 1, …, n;

n — объем выборки.

В зависимости от количества переменных в модели раз­личают парные и множественные модели.

Приводим общий вид линейного парного регрессионного уравнения

,

где а₀ — свободный коэффициент, равный У_p при X = 0;

а₁ — коэффициент пропорциональности зависимости У_p от X, численно равный приросту У_p при изменении X на 1.

Однако линейная модель парной регрессии не является единственной. Существует несколько видов моделей, кото­рые используются в эконометрике. Для их определения необ­ходимо выявить механизм генерации всех видов эконометрических моделей, которые уже известны и которых еще нет.

Генерация эконометрических моделей. В настоящее вре­мя в научной и учебной литературе можно встретить боль­шое количество различных эконометрических моделей, ко­торые необходимо классифицировать, и предсказать появ­ление новых пока неизвестных моделей. Для этой цели необ­ходимо выявить механизм генерации этих моделей.

Располагая механизмом генерации эконометрических моделей можно существенно улучшить известные модели и расширить область их использования в экономических иссле­дованиях, а также может появиться возможность системно­го изложения видов моделей в учебном процессе.

Генерацию эконометрических моделей можно произво­дить с использованием белого шума δ_t и регрессионного урав­нения следующего вида:

,

где У — зависимая переменная;

X — объясняемая переменная, количество объясняемых переменных может быть разным;

f (X_t) — общий вид математической функции;

t — текущее время, время может быть прошлым и буду­щим:

(t — м) — прошлое время, сдвинутое на м дат назад от текущего времени t;

(t + м) — будущее время, сдвинутое на м дат вперед от текущего времени t;

X_t-м — лаговая переменная порядка м;

X_t+м — будущее значение объясняемой переменной по­рядка м (пока не имеет специального названия);

У_t-м — лаговая зависимая переменная порядка м;

У_t+м — будущее значение зависимой переменной поряд­ка м (пока не имеет специального названия);

ε — случайное возмущение или ошибка модели, вклю­чающая ошибку уравнения и ошибку измерения;

ε_t-м — лаговая переменная возмущения порядка м;

ε_t+м — будущее значение возмущения порядка м (пока не имеет специального названия);

δ_t — белый шум;

δ_t-м — лаговые значения белого шума;

δ_t+м — будущее значение белого шума.

Элементы линейного регрессионного уравнения показа­ны на рис. 3.5.

Рис.3.5. Структура эконометрических моделей

Над переменными можно проводить различные преобразования, например, по следующим функциям: Z² , Z^1/2 , 1/Z, lnZ, SinZ, CosZ, ∆Z_t = Z_t – Z_t-1 , где Z — условное обозначение любой переменной: Y_t , X_t, ε_t , δ_t , t.

Предлагаем следующий механизм генерации эконометрических моделей — можно комбинировать элементы рег­рессионного уравнения и получать различные виды моделей. Некоторые из этих моделей уже известны и хорошо изуче­ны, другие мало изучены, однако могут появиться абсурд­ные или неизвестные модели, которые представляют осо­бый интерес.

Генерацию эконометрических моделей начнем с опреде­ления вида математической функции f(X).

В эконометрике часто используются следующие виды математических функций, отражающие определенный вид тенденции зависимости У от X:

— линейная;

— параболическая;

— гиперболическая;

— логарифмическая;

— перио­дическая,

где t — время (t = 1, 2, …, n);

T — период колебания.

Все эти функции являются линейными относительно ко­эффициентов модели, так как коэффициенты находятся в пер­вой степени и сами не стоят в степени к переменной. Можно составлять комбинированную функцию, которая состоит из нескольких функций с различными преобразованиями пере­менных. Известен пакет прикладных программ "TableCurve2D", который позволяет получить более двух тысяч комбиниро­ванных функций, и все они являются линейными относи­тельно коэффициентов, расчет которых можно повторить с помощью Excel.

В эконометрике имеются функции, которые учитывают определенные свойства экономической системы:

— многофакторная линейная аддитивная модель,

где X₁, Х₂, Х₃ — факторы, оказывающие влияние на У.

— многофакторная мультипликативная модель Кобба-Дугласа.

Аддитивность — сложение.

Мультипликативность — умножение.

Построим серии моделей с учетом лаговых переменных.

X_t-м , У_t-м , ε_t-м ,

— модель распре­деленного лага второго порядка РЛ(2) — зависимость после­дующих значений зависимой переменной от двух предыду­щих значений объясняемой переменной.

— авторегрессионная модель второго порядка АР(2), учитывающая влияние на У их же двух предыдущих значений.

Скомбинируем эти две модели и получим:

—модель распределенного лага второго порядка и авторегрес­сии второго порядка РЛАР(2, 2).

— модель авторегрессии воз­мущения второго порядка АР(2), где v _t— случайная состав­ляющая. Модель авторегрессии возмущения первого порядка принято называть автокорреляцией возмущения.

— модель автокорреляции возмущения АК или авторегрессии возмущения первого порядка АР(1), где ρ — параметр автокорреляции первого порядка.

Если в линейную модель

вставить модель авторегрессии остатков второго поряд­ка, то получится следующая математическая запись

— линейная модель с учетом АР(2) возмущения (авторегрессия возмущения второ­го порядка).

Если во временном ряду наблюдаются регулярности из­менений остатков, то в качестве переменной для изучения может выступать дисперсия остатков , численные значе­ния которой можно получить следующим образом:

• приведем временной ряд к стационарному виду, на­пример с помощью линейной функции

;

• вычислим остатки

;

• разобьем временной ряд на равные участки, в кото­рых квадраты остатков будут примерно одинаковыми, вы­числим для каждого участка дисперсию остатков , где i - номер участка.

Построим модель зависимости дисперсии остатков от сво­их прошлых значений

— модель авторегрессии дисперсии остатков второго порядка АР(2) или авторегрес­сия гетероскедастичности (при условии неравенства диспер­сий остатков между собой, что является признаком наличия гетероскедастичности).

Рассмотрим модели с участием белого шума.

Авторегрессию возмущения первого порядка можно пред­ставить с помощью белого шума δ_t

,

которую называют моделью скользящего среднего СС беско­нечного порядка [1, с. 262].

Важно отметить, что с помощью белого шума δ_t можно воспроизвести стационарные возмущения ε_t.

В эконометрике могут использоваться комбинации этих моделей.

— модель распределенного лага, авторегрессии и автокорреляции воз­мущения РЛАРАК(1,1,1).

Для моделирования временных рядов можно использо­вать в качестве фактора белый шум. Например, в модель распределенного лага, авторегрессии вместо автокорреля­ции возмущения поставим авторегрессию белого шума d_t.

.

Если монотонную тенденцию исключить разностями оп­ределенного порядка и использовать их как зависимую пере­менную, которую воспроизведем ее авторегрессией с интег­рированной (суммирование) авторегрессией белого шума, то получится модель Бокса-Дженкинса.

Модель Бокса-Дженкинса авторегрессии первого поряд­ка, интегрированной первого порядка, скользящей средней первого порядка АРИСС(1, 1, 1) имеет следующий вид:

.

— модель взвешенной регрессии, устраняющая гетероскедастичность остатков.

Если экономический процесс описывается линейной мо­делью

, в которой X зависит от У и эту связь можно выразить урав­нением

,

то получается система одновременных уравнений.

Класс моделей систем одновременных уравнений хоро­шо изучен, имеются эффективные алгоритмы определения коэффициентов модели, а также методы определения про­гнозных значений эндогенных переменных.

Примечание. Если в качестве факторов использовать будущие значения объясняемой переменной то получается класс моделей со­средоточенного и распределенного будущего (пока этот класс моделей не получил специального названия).

Например, модель сосредоточенного будущего порядка м имеет следующий вид —

.

Обсудим модель сосредоточенного будущего.

Во-первых, нет принципиальных трудностей в составле­нии базы данных с переменными У_t, X_t, X_t+м, с помощью которой методом наименьших квадратов (МНК) можно опре­делить коэффициенты модели.

Во-вторых, порядок м сосредоточенного будущего не должен быть слишком большим, так как при прогнозирова­нии придется прогнозировать объясняемую переменную на большую глубину, с увеличением прогнозного доверительно­го интервала.

В-третьих, представляет особый интерес влияние буду­щих выбросов объясняемой переменной на выбросы зависи­мой переменной, а также влияние будущего выброса на все значения зависимой переменной.

В-четвертых, известно, что адаптивные и авторегрессонные модели обладают недостатком, который заключается в том, что расчетные значения этих моделей плохо воспро­изводят выбросы. Включение в модель будущих значений факторов способно учитывать будущие значения выбросов.

Модель распределенного будущего второго порядка имеет следующий вид:

,

в которой численные значения X_t не должны изменяться с равным интервалом. Для определения коэффициентов этой модели используется МНК.

Если в качестве факторов использовать лаговые пере­менные зависимой переменной, то получается класс авто­регрессионных моделей.

Например, модель авторегрессии порядка м имеет сле­дующий вид:

.

Если в качестве факторов использовать будущие значе­ния зависимой переменной, то получается класс моделей ав­торегрессии сосредоточенного и распределенного будущего (пока этот класс моделей не получил специального названия).

Например, модель авторегрессии сосредоточенного бу­дущего порядка м имеет следующий вид:

.

Модель авторегрессии распределенного будущего вто­рого порядка имеет следующий вид:

, в которой измерения У не должны равняться между собой. Для определения коэффициентов этой модели в первом при­ближении можно использовать МНК.

Если в качестве факторов использовать будущие значе­ния остатков, то получается класс моделей сосредоточенного и распределенного будущего остатков (пока этот класс моде­лей не получил специального названия).

Например, модель сосредоточенного будущего остатков порядка м имеет следующий вид:

.

Модель распределенного будущего остатков второго по­рядка имеет следующий вид:

.

Для определения коэффициентов этой модели в первом приближении можно использовать МНК.

Выбор вида функции производится на основе экономи­ческой теории изучаемого процесса при соблюдении основ­ных принципов построения модели: простота и ясность эко­номической интерпретации.

Параметры модели оцениваются методом наименьших квадратов или обобщенным методом наименьших квадратов.

Если выбранная функция не соответствует экономичес­кому процессу, то ее заменяют другой [11].