Операции над матрицами. [править]Умножение матрицы на число

[править]Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число (обозначение: ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства умножения матриц на число:

· 1. 1 A = A;

· 2. (λβ)A = λ(βA)

· 3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

[править]Сложение матриц

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства сложения матриц:

· 1.коммутативность: A+B = B+A;

· 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

· 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

· 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

[править]Умножение матриц

Свойства умножения матриц:

· 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

· 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

· 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

· 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

· 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.

3) ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: