Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения F(x), то вероятность того, что X примет значение

Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения F(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), такова:

.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда

.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда .

Найдем новые пределы интегрирования. Если x = a, то , если x = b, то . Тогда

.

Выражение , входящее в эту формулу, является функцией верхнего предела X, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей и обозначается Ф(x). В результате получаем:

Ф — Ф ,

где Ф(x) = .

Эту формулу называют формулой Лапласа.

Если случайная величина X является признаком генеральной совокупности, то формула Лапласа дает долю элементов генеральной совокупности, у которых значение признака X находится в границах от до .

Интеграл, через который выражается функция Лапласа, нельзя выразить через элементарные функции. Его можно представить в виде степенного ряда, если разложить в ряд подынтегральную функцию и почленно проинтегрировать ряд. Тогда

Ф(x) = .

C помощью этого ряда можно вычислить значение Ф(x) для любого x с любой точностью. Составлены специальные таблицы значений функции Лапласа.

Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.

1. Функция Ф(x) – нечетная, т. е. Ф(-x) = –Ф(x).

2. Функция Ф(x) – возрастающая, быстро приближающаяся к своему пределу, равному 0,5: Ф(0) = 0, Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772, Ф(3) = 0,4986, Ф(4) = 0,4999 и т.д. На практике полагают Ф(x)= 0,5 для x>5.