Опишите диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью. Нарисуйте схему осциллятора

Нелинейный диссипативный осциллятор – это динамическая система, мгновенное состояние которой задается двумя величинами, обобщенной координатой x и скоростью . При наличии внешнего периодического воздействия в уравнениях появляются члены, содержащие явную зависимость от времени и нелинейный осциллятор превращается в неавтономную систему, которая может демонстрировать сложную динамику и переход к хаосу. Фазовое пространство такой системы трехмерно, поскольку задание переменной x и скорости однозначно определяет последующее движение лишь в том случае, если указано, к какому моменту времени или к какой фазе воздействия они относятся. Допустим, нелинейная зависимость возвращающей силы для осциллятора имеет вид f(x), а сила трения пропорциональна , то приходим к уравнению

+γ + f(x) = α*sin(ωt) (1)

γ – параметр диссипации

α и ω – амплитуда и частота воздействия.

Осциллятор Дуффинга относится к системе 1.

+ + x³= Asin(Ωt)

А и Ω – амплитуда и частота внешнего воздействия. При малых амплитудах внешнего воздействия, частота колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия, а при увеличении этого параметра можно наблюдать более сложное динамическое поведение, включая переход к хаосу. Так как функция f(x) – нечетная, то имеется инвариантность и реализуются одна из двух возможностей:

1 – аттрактор обладает симметрией относительно x или

2- аттрактор не обладает симметрией, но имеет симметричного партнера, т.е. в зависимости от начальных условий в системе будет возникать два разных режима, переходящий один в другой при преобразовании симметрии. При малых амплитудах единственным аттрактором является замкнутая кривая – симметричный цикл, причем период колебаний равен периоду внешнего воздействия. При больших амплитудах цикл становится неустойчивым и возникает два цикла. Далее система начинает проявлять хаотический характер. При огромных амплитудах воздействия аттракторы сливаются в один симметричный хаотический аттрактор.