Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел

Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.

Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} сходится, и пусть. Тогда для

положительного числа 1 существует номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | а- x_n |<l. Отсюда |x_n | -| а| ≤ |а - x_n| <1, т.е. |x_n| < |а| + 1. Следовательно, |x_n| ≤ max(|x₁|,..., |x_N|, |а| + 1), n =1, 2,..., и последовательность {xn} ограничена. Теорема доказана.

Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x₀ существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена.

Доказательство. Пусть

Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ выполняется неравенство |f (x) — a| < 1. Отсюда

|f(x)| = |f(x) — a + a| ≤|f(x) — a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f(x)| < 1 + |a|,

и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ) точки x₀. Теорема доказана.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.

Теорема (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть предел

положителен. Тогда функция f (x) положительна в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть lim f (x) = a, a > 0. Тогда для положительного числа —а/2, найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ выполняется неравенство

|f (x)-a|<a/2

Это неравенство равносильно такому:

следовательно, f (x) > a/2, т.е. данная функция положительна при x принадлежащем промежутку (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ). Теорема доказана.