Изучение линий, точек и плоскостных фигур

Линия. Согласно математическому энциклопедическому словарю «линия (от лат. linea — льняная нить, линия, черта) — геометриче­ское понятие, точное и в тоже время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно». Линию понимают как общую часть двух смежных областей поверхности, как границу по­верхности, как траекторию или результат движения точки. Каждый из этих смыслов понятия линии должен быть представлен в обуче­нии, а начать разговор о линиях можно с любого из них, например, с последнего. Основными видами соответствующих заданий являются задания: • на выявление имеющихся представлений о ли­ниях; • представление замкнутых и не замкнутых линий; • поня­тия внутренние, внешние области, линии как границы областей; • понятия прямая, кривая, ломаная, отрезок, луч, линейный угол, окружность;• построение линий.

Приведем возможные виды заданий для учащихся при изучении линий.

Рис. 9.3

Задания. • 1. Рассмотри линии (на рисунке представлены все пере­численные виды линий). Пометь линии, названия которых ты знаешь, первой заглавной буквой этого названия. Выпиши номера линий, на­звания которых ты не знаешь. Придумай для них названия. При обсуж­дении сравни их с общепринятыми. • 2. Какие из изображенных линий ты бы назвал замкнутыми, а какие незамкнутыми? Продолжи одну из незамкнутых линий так, чтобы она стала замкнутой; чтобы данная точка оказалась во внутренней области; во внешней области, на границе областей. • 3. Поставь точку А во внутренней области, а точку В во внеш­ней области, границей которых служит данная линия. • 4. Распредели данные линии (изображены все основные виды линий) по группам. • 5. Раскрась области так, чтобы соседние были разного цвета. Раскрась области минимальным количеством цветов, соседние области были раз­ных цветов (рис. 9.3). • 6. Линию каждого вида соедините с названием (на рисунке слева в произвольном порядке изображены прямая, кривая, ломаная, отрезок, луч, линейный угол, окружность, а справа написаны также в произвольном порядке названные термины).• 7. Информацию о чем можно передать с помощью отрезка? • 8. Дана модель правиль­ной шестиугольной призмы. Какими отрезками, какими многоугольни­ками можно передать информацию об этом геометрическом теле? На­черти эти отрезки, предварительно измерив их длины. Начерти углы, характеризующие форму призмы. Начерти многоугольники как «след» на листе бумаги. (Обводятся контуры основания — угол шестиуголь­ника и угол боковой грани — прямой угол, правильный шестиуголь­ник, контуры боковой грани — прямоугольник). Измерь длины сторон многоугольников, найди их сумму. Каким термином обозначают такие суммы? • 9. Среди данных линий найди замкнутые, среди замкнутых найди многоугольники и не многоугольники; среди не многоугольников найди окружности и не окружности. Чем так выделенные окружности и не окружности похожи и чем отличаются? • 10. Даны замкнутые ли­нии разной формы и изображения геометрических тел и предметов. Каждому геометрическому телу и предмету подобрать линию, которая отражает его форму. Выбор обосновать.

При изучении линий нужно обращаться к произведениям декора­тивно-прикладного искусства, к произведениям живописи, к фото­графиям объектов архитектуры, к картам и планам местности

Плоскостные фигуры. Понятие «плоскостные фигуры» тесно связаны с понятием «поверхность» и «плоскость». Поэтому начинать

их изучение можно с рассмотрения поверхностей реальных пред­метов, с выделения самых распространенных форм поверхностей в окружающем нас пространстве. Обнаруживается, что в творениях рук человеческих наиболее часто встречаются поверхности, форма которых выражается прямоугольниками с неравными сторонами, квадратами, кругами, несколько реже — треугольниками. Это фор­мы поверхностей мебели, стен, крыш, книг, поверхности бытовой техники.

Источником новых форм и соответственно новых геометрических фигур может быть составление фигур из других и разрезание на ча­сти (самым известным примером является игра «Танграмм»). При таком составлении и разрезании обнаруживается, что в основе всех многоугольников лежит треугольник: любой многоугольник можно составить из треугольников и любой многоугольник можно разре­зать на треугольники. Но тогда и свойства любых многоугольников в определенной мере можно характеризовать через свойства состав­ляющих треугольников. Поэтому И.Ф. Шарыгин, автор учебников и многих книг по обучению геометрии, однажды сказал на семинаре с учителями, что как при обучении литературе суть всего произведе­ния можно «вытащить» через деталь (Е. Ильин), так и всю геометрию можно «вытащить» через треугольники, круги и их свойства, в том числе, свойства взаимного расположения (вписанные, описанные окружности и круги).

При изучении геометрических фигур полезно поработать с на­званиями фигур: как образованы слова — названия фигур, почему для прямоугольников с равными сторонами кроме названия «пря­моугольник с равными сторонами» был изобретено и «прижилось» еще и короткое название «квадрат» (которое, пожалуй, затмило по частоте употребления и слово «прямоугольник»), а вот для пря­моугольников с неравными сторонами короткого названия нет; по­чему граница круга имеет свое собственное имя — «окружность», а ни один многоугольник этим похвастать не может (квадрат, треу­гольник — это и части плоскости и границы соответствующих частей плоскости, замкнутые ломаные линии). А почему ломаную линию так назвали?

Степень полноты представления информации о плоскостных фи­гурах в разных ученых комплектах различная. В одних ограничива­ются общим представлением и несколькими свойствами, выделяю­щими эту фигуру из других, например, для прямоугольника такими как равенство противоположных сторон прямоугольника, все углы прямые. В других рассматривают многие другие свойства: симметрич­ность — наличие или отсутствие центров и осей симметрии, виды прямоугольников, виды треугольников, важные линии фигур — диа­гонали, высоты, медианы, биссектрисы. Общим для всех является то, что гипотезы о любом свойстве высказывается на основе экспери­ментирования с бумажными моделями геометрических фигур.

Точка. Точке, как геометрической фигуре, обычно уделяется мало внимания. Ну что ее рассматривать?! Ведь ухватиться не за что! Ни тебе длины, ни ширины, ни высоты. Вообще — ничего! Но, можно ли без нее обойтись? Оказывается — нет. Без изобретения точки как обозначения отсутствия любых признаков, оказывается, не было бы и геометрии. Точку можно сравнить с нулем в арифме­тике, который хоть и «не значит ничегошеньки», а попробуй-ка без него! Так и точка. Мало того, что геометрия без точек не состоя­лась бы, так еще и физика, и химия, и биология не состоялись бы! Это решетки в квантовой физике, модели молекул в химии, модели генов в биологии. Да и в русском языке, и в психологии без точек не обходится. А в изобразительном искусстве? Поэтому в начальной школе нужен такой урок, или уроки, на котором бы воспели славу точке, да и все другие фигуры достойны того, чтобы им посвятили специальные «уроки славы».

Важную информацию о свойствах фигур, а, значит, и соответ­ствующих формах реальных предметов несут измерения, отношения результатов измерений (см. гл. 6).