Значения параметров для метода Рунге-Кутта 6-го порядка

Значения параметров для метода Рунге-Кутта 3-го порядка

Метод Рунге-Кутта 3-го порядка
I
				1/6
	1/2	1/2		4/6
		–1		1/6

Таблица 4

Значения параметров для метода Рунге-Кутта 4-го порядка

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
i
					1/6
	1/2	1/2			2/6
	1/2		1/2		2/6
					1/6

Таблица 5

Значения параметров для метода Рунге-Кутта 6-го порядка

Метод Рунге-Кутта 6-го порядка
i
			– 8

Значения параметров , соответствующие наиболее часто используемому случаю, приведены в табл. 3.

В табл. 3 и 4 приведены значения параметров , соответствующие наиболее часто используемым случаям, для методов Рунге-Кутта 4-го и 6-го порядка, соответственно (6-й порядок метода Рунге-Кутта соответствует 5-му порядку точности).

12.6. Решение уравнений методом Рунге-Кутта

Рассмотрим методику решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта на конкретном примере. Пусть задано дифференциальное уравнение с начальным условием:

(12.12)

Требуется определить значение функции u в точке

Значение шага по времени возьмём равным 0.1.

Видно, что решением уравнения (12.12) является функция , значение которой в искомой точке составляет:

Выполним решение уравнения (12.12), используя метод Рунге-Кутта с различными порядками точности, и сравним полученные результаты с истинным решением (следует отметить, что для данного уравнения явный и неявный методы Эйлера неприменимы, так как соответствующие им разностные схемы для уравнения (12.12) будут неустойчивы).

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 2-го порядка с использованием первого набора параметров:

Видно, что ошибка появляется в третьей цифре после запятой.

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 2-го порядка с использованием второго набора параметров:

Видно, что ошибка, как и в предыдущем случае, появляется в третьей цифре после запятой.

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 3-го порядка:

Видно, что ошибка появляется в пятой цифре после запятой. Это наглядно доказывает, что метод Рунге-Кутта 3-го порядка более точен, чем метод Рунге-Кутта 2-го порядка.

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

Видно, что ошибка появляется в седьмой цифре после запятой. Это наглядно доказывает, что метод Рунге-Кутта 4-го порядка более точен, чем методы Рунге-Кутта 2-го и 3-го порядка.

Глава 13. Принцип замороженных

коэффициентов

13.1. Уравнения с непостоянными коэффициентами

при производных

13.1.1. Исследование устойчивости явных разностных схем

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа, в котором коэффициент при производной второго порядка по координате не является константой, а зависит от переменных t и x:

(13.1)

Поскольку в математических моделях физико-химических процессов любой коэффициент является физической величиной, то для любых значений переменных t и x должно выполняться условие:

Запишем для уравнения (13.1) явную разностную схему, стабилизируя значение функции в точке на разностной сетке:

(13.2)

В разделе 3.4 было доказано, что такая разностная схема условно устойчива. Условием устойчивости для случая, когда s является константой, служит соотношение (3.12). Выясним, какой вид будет иметь условие устойчивости для разностной схемы (13.2). Для этого выберем на разностной сетке произвольную точку :

Запишем для уравнения (13.1) явную разностную схему с постоянным коэффициентом :

(13.3)

Соотношение (3.12), являющееся условием устойчивости, для разностной схемы (13.3) имеет вид:

(13.4)

Однако точка – произвольно выбранная точка на разностной сетке, и, следовательно, значение – произвольно выбранное значение, которое может принимать функция при заданных интервалах изменения переменных t и x. Но для устойчивости разностной схемы (13.3) необходимо, чтобы условие (13.4) выполнялось для любой точки на разностной сетке. Поэтому для записи условия (13.4) следует выбрать максимальное значение, которое может принимать функция при заданных интервалах изменения переменных :

Данное условие и является условием устойчивости явной разностной схемы (13.2).

Используя аналогичные рассуждения, можно получить условие устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, в котором коэффициент при производной по координате не является константой:

13.1.2. Правило записи неявных разностных схем

Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.1), необходимо определиться на каком шаге по времени следует стабилизировать значение функции . Как правило, для этого выбирают n -й шаг по времени. Во всех методах численного решения n -й шаг по времени считается известным для всех искомых функций, и, следовательно, как бы ни была задана функция , при определении значений функции u (t, x) на (n + 1)-м шаге по времени уже будут известны численные значения в каждой точке разностной сетки. Таким образом, неявная разностная схема для уравнения (13.1) записывается в следующем виде:

(13.5)

Данный подход, заключающийся в стабилизации коэффициентов, являющихся функцией времени, на последнем рассчитанном шаге, называют принципом замороженных коэффициентов.

Разностная схема (13.5) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Легко видеть, что зависимость коэффициента s от переменных t и x не оказывает влияния на сходимость прогонки.

Рассмотрим теперь двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, в котором коэффициент s зависит от переменных t, x и y:

(13.6)

Схема расщепления для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Отметим, что согласно принципу замороженных коэффициентов функция аппроксимирована в обеих подсхемах на n -м шаге по времени.

Схема переменных направлений для уравнения (13.6) будет иметь вид:

В данном случае функция аппроксимирована в обеих подсхемах на шаге по времени (n + 1/2) для того, чтобы сохранить второй порядок аппроксимации схемы по времени.

Схема предиктор-корректор для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Согласно принципу замороженных коэффициентов функция аппроксимирована в первой и второй подсхемах на n -м шаге по времени; вся правая часть третьей подсхемы (корректора) аппроксимирована на шаге по времени (n + 1/2) для достижения второго порядка аппроксимации схемы по времени.

13.2. Уравнения с нелинейным свободным членом

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа, свободный член которого является функцией квадрата искомой функции u (t, x):

(13.7)

Подобные уравнения входят в математические модели реакторов, в которых протекают химические реакции второго порядка.

Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.7), свободный член представляют в следующем виде:

В данной записи выражение в скобках будет играть роль коэффициента, зависящего от переменных t и x. Тогда согласно принципу замороженных коэффициентов выражение (ku) должно быть аппроксимировано на n -м шаге по времени. С учётом этого неявная разностная схема для уравнения (13.7) будет иметь вид:

(13.8)

Разностная схема (13.8) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Если искомая функция u (t, x) является физической величиной, то она не может быть отрицательна. В этом случае зависимость коэффициента от значений функции u (t, x) не оказывает влияния на сходимость прогонки.

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа, свободный член которого является произвольной степенной функцией искомой функции u (t, x):

(13.9)

По аналогии с предыдущим случаем представим свободный член в виде произведения коэффициента, зависящего от переменных t и x, и функции u (t, x) в первой степени:

Тогда с учётом принципа замороженных коэффициентов неявная разностная схема для уравнения (13.9) будет иметь вид:

Данная разностная схема абсолютно устойчива, решается с помощью метода прогонки; условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.

Глава 14. Решение интегро-дифференциальных

уравнений

14.1. Постановка задачи

В разделе 1.7 мы рассматривали математическую модель, в которую помимо дифференциальных уравнений также входят интегро-дифференциальные уравнения, то есть уравнения, содержащие как производные, так и интегралы.

Интегро-дифференциальные уравнения могут встречаться в любых моделях, описывающих полидисперсные гетерогенные среды, состоящие из сплошной фазы (газ или жидкость) и дисперсной фазы (включения твёрдых частиц, капель жидкости или газовых пузырьков). Скорости процессов, протекающих с участием дисперсной фазы, зависят, как правило, от размера включений. Чтобы это учесть при записи уравнений математической модели, всю дисперсную фазу рассматривают как совокупность r -фаз. Каждая r -фаза состоит из включений, размеры (объёмы) которых изменяются от r – dr до r + dr. Таким образом, в каждой из r -фаз размеры (объёмы) включений остаются постоянными, меняется только их число. Дисперсность гетерогенной фазы характеризуется функцией распределения включений по размерам , так что – число включений, размеры (объёмы) которых находятся в интервале значений от r до r + dr. Отметим, что значение может быть функцией как времени, так и пространственных координат, поэтому в общем случае рассматривают функцию ; тогда – число включений в момент времени t в точке x реактора, размеры которых находятся в интервале значений от r до r + dr. Уравнения, описывающие законы сохранения массы, импульса и энергии для всей дисперсной фазы, получают путём интегрирования соответствующих уравнений, записанных для r -фазы.

Примерами интегро-дифференциальных уравнений (помимо рассмотренных выше уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации из растворов) могут служить следующие уравнения:

· уравнение, описывающее дробление включений

(14.1)

· уравнение, описывающее агломерацию твёрдых частиц или коагуляцию капель

(14.2)

Здесь v – скорость перемещения включений; A (r) – функция, характеризующая вероятность дробления включений размером r; – функция, характеризующая вероятность дробления включений размером g с образованием включений размером r; – функция, характеризующая вероятность агрегации включений размерами m и r.

Первое слагаемое в правой части уравнения (14.1) описывает уменьшение числа включений r -фазы за счёт их дробления; второе слагаемое характеризует увеличение числа включений r -фазы за счёт дробления более крупных включений.

Первое слагаемое в правой части уравнения (14.2) описывает увеличение числа включений r -фазы за счёт агрегации включений с размерами m и ; второе слагаемое характеризует уменьшение числа включений r -фазы за счёт их агрегации со всеми остальными включениями.

14.2. Методы численного вычисления интегралов

Рассмотрим непрерывную функцию одной переменной u = u (x), для которой задан интервал её изменения x Î [ a; b ]. Разобьём интервал [ a; b ] на N равных частей (рис. 14.1). Величину интервала деления обозначим за h.

На основе свойств определённого интеграла имеем:

(14.3)

где При бесконечном увеличении числа интервалов деления получаем

Заменяя на в выражении (14.3), получаем приближённую формулу для расчёта определённого интеграла:

(14.4)

Формула (14.4) называется формулой прямоугольников, поскольку точное выражение площади кривой u (x) она заменяет на сумму площадей вписанных в неё прямоугольников.

Если заменить точное выражение площади кривой u (x) на сумму площадей трапеций, построенных на основе точек деления (рис. 14.2), то получим следующую приближённую формулу для расчёта определённого интеграла, называемую формулой трапеций:

14.3. Примеры численного решения

интегро-дифференциальных уравнений

14.3.1. Решение уравнений математической модели

процесса массовой кристаллизации

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциальных уравнений из математической модели процесса массовой кристаллизации. Уравнение, описывающее материальный баланс по концентрации кристаллизующегося компонента имеет вид:

(14.5)

где с – концентрация кристаллизующегося компонента; – плотность кристалла; h – скорость роста кристалла; – число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; R – наибольший размер кристалла.

Уравнение (14.5) содержит одну производную, описывающую изменение концентрации кристаллизующегося компонента во времени. Причём, функция с является функцией только одной независимой переменной (времени). В правой части уравнения (14.5) находится интеграл, содержащий функцию распределения включений по размерам f, значения которой зависят от времени и от размера включений. То есть, функция f является функцией двух независимых переменных – t и r. Также в подынтегральное выражение входит функция скорости роста кристалла h, зависящая от размера кристалла и от величины пересыщения раствора (т.е. разности текущей и равновесной концентраций раствора), а, следовательно, являющаяся функцией двух независимых переменных – t и r.

Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.5), требуется ввести двумерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные – время t и размер кристаллов r), а также следующие обозначения:

n = 0, 1, 2,..., M – порядковый номер точки деления по оси t;

k = 1, 2, 3,..., N_r – порядковый номер точки деления по оси r;

– величина интервала между точками по оси t;

– величина интервала между точками по оси r;

– значение функции f (t, r), соответствующее точкам .

Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно, правую конечную разность:

Для аппроксимации интеграла будем использовать выражение (14.4). Причём, поскольку искомой функцией в уравнении (14.5) является функция с (t), то при аппроксимации функций f (t, r) и h(t, r) требуется использование принципа замороженных коэффициентов (иначе разностная схема не будет разрешима). Учитывая всё сказанное, запишем разностную схему для аппроксимации уравнения (14.5):

(14.6)

Разностная схема (14.6) является явной и решается с помощью рекуррентного соотношения:

Аналогично записывается разностная схема для уравнения, описывающего тепловой баланс:

(14.7)

где C_T, r, T – теплоёмкость, плотность и температура смеси в кристаллизаторе; D H - тепловой эффект процесса; К – коэффициент теплопередачи; Т_х – температура хладагента; F – поверхность кристаллизатора.

Разностная схема (14.7) решается с помощью рекуррентного соотношения:

14.3.2. Решение уравнения, описывающего дробление включений

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциального уравнения (14.1), описывающего процесс дробления включений. В левой части данного уравнения находятся две производные, описывающие изменение функции распределения включений по размерам f во времени и пространстве; правая часть, содержащая интеграл, характеризует изменение функции f за счёт процесса дробления включений (то есть, за счёт изменения их размера). Таким образом, в данном случае функция f является функцией трёх независимых переменных – t, x и r. Также в правой части уравнения (14.1) имеются две вероятностные функции A и В, значения которых зависят от размера включений.

Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.1), требуется ввести трёхмерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные – время t, координата по длине реактора x и размер включений r), а также следующие обозначения:

n = 0, 1, 2,..., M – порядковый номер точки деления по оси t;

j = 1, 2, 3,..., N_x – порядковый номер точки деления по оси x;

k = 1, 2, 3,..., N_r – порядковый номер точки деления по оси r;

– величина интервала между точками по оси t; (14.8)

– величина интервала между точками по оси x;

– величина интервала между точками по оси r;

– значение функции f (t, x, r), соответствующее точкам .

Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно, правую конечную разность. Выбор конечной разности для аппроксимации производной по координате определяется (согласно известному правилу) знаком величины v, характеризующей скорость перемещения включений: если направление оси x совпадает с направлением перемещения включений, то величина v будет положительна и для аппроксимации производной необходимо использовать левую конечную разность; если направление оси x противоположно направлению перемещения включений, то величина v будет отрицательна и для аппроксимации производной необходимо использовать правую конечную разность. Для аппроксимации интеграла будем использовать выражение (14.4) и принцип замороженных коэффициентов. Учитывая всё сказанное, запишем схему расщепления, аппроксимирующую уравнение (14.1) для случая v > 0:

(14.9)

Первая подсхема схемы расщепления (14.9) учитывает производную по координате и является неявной по переменной x; вторая подсхема учитывает правую часть уравнения (14.1). Схема (14.9) имеет первый порядок аппроксимации по каждой из независимых переменных:

Каждая из подсхем, составляющих схему (14.9), является абсолютно устойчивой и решается с помощью соответствующего рекуррентного соотношения:

14.3.3. Решение уравнения, описывающего агрегацию включений

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциального уравнения (14.2), описывающего процесс агрегации включений. В левой части данного уравнения находятся две производные, описывающие изменение функции распределения включений по размерам f во времени и пространстве; правая часть, содержащая два интеграла, характеризует изменение функции f за счёт процесса агрегации включений (то есть, за счёт изменения их размера). Таким образом, в данном случае функция f является функцией трёх независимых переменных – t, x и r. Также в правой части уравнения (14.2) имеется вероятностная функция K, значения которой зависят от размера включений.

Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.2), требуется ввести трёхмерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные – время t, координата по длине реактора x и размер включений r), а также обозначения, аналогичные обозначениям (14.8).

Для аппроксимации производной по времени будем использовать правую конечную разность. Выбор конечной разности для аппроксимации производной по координате определяется знаком величины v, характеризующей скорость перемещения включений. Для аппроксимации интегралов будем использовать выражение (14.4) и принцип замороженных коэффициентов. Учитывая всё сказанное, запишем схему расщепления, аппроксимирующую уравнение (14.2) для случая v > 0:

(14.10)

Первая подсхема схемы расщепления (14.10) является неявной по переменной x и явной по переменной r; вторая подсхема является неявной по переменной r. Схема (14.10) имеет первый порядок аппроксимации по каждой из независимых переменных:

Каждая из подсхем, составляющих схему (14.10), является абсолютно устойчивой и решается с помощью соответствующего рекуррентного соотношения:

Глава 15. Решение сложных систем уравнений

15.1. Основной подход к решению сложных систем

Как правило, при математическом описании сложных химико-технологических систем требуется учёт изменения во времени и/или пространстве ряда величин (концентраций реагентов, температуры, давления и пр.). Поэтому математические модели химико-технологических процессов чаще всего состоят не из одного дифференциального уравнения, а из системы дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. При этом в уравнении, описывающем изменение одной из искомых функций системы, могут содержаться и другие неизвестные функции, изменение которых описывается другими уравнениями той же системы. В качестве примера следует привести хорошо известную зависимость скорости большинства химических реакций от температуры, которая, в свою очередь, может существенно меняться за счёт теплового эффекта по ходу реакционного процесса. В уравнениях, описывающих физико-химические процессы в гетерогенных средах, взаимосвязь величин, характеризующих процесс, как правило, ещё более сложная. Математическая модель процесса массовой кристаллизации из растворов – наглядное подтверждение сказанному.

Методы численного решения уравнений различного типа, позволяющие определить значения искомой функции при определённых значениях независимых переменных, применимы и к сложным системам уравнений. Однако для того чтобы решить какое-либо из уравнений системы, требуется знание значений всех входящих в него параметров и функций, определяемых из других уравнений системы. Поэтому при записи разностных схем для систем уравнений применяется принцип замороженных коэффициентов, позволяющий использовать известные значения всех функций системы, полученные на предыдущем расчётном шаге (в случае первого расчётного шага для определения значений функций системы используются начальные условия, задаваемые при постановке задачи).

В качестве примера рассмотрим систему двух одномерных дифференциальных уравнений параболического типа:

(15.1)

В данной системе u (t, х) и v (t, х) – две различные функции двух независимых переменных. Видно, что свободный член первого уравнения системы содержит функцию v (t, х), определяемую с помощью второго уравнения; а свободный член второго уравнения системы содержит функцию u (t, х), определяемую с помощью первого уравнения. Неявная разностная схема для системы (15.1) будет иметь вид:

Видно, что при аппроксимации свободного члена в каждом из уравнений системы применён принцип замороженных коэффициентов, позволяющий использовать известные значения одной искомой функции для определения значений другой искомой функции. Такая разностная схема будет разрешима.

15.2. Решение математической модели процесса массовой

кристаллизации из растворов

Рассмотрим емкостной кристаллизатор периодического действия, в котором происходит процесс массовой кристаллизации за счёт охлаждения раствора. Математическая модель данного процесса базируется на законах сохранения массы, импульса и энергии. Так как рассматривается аппарат идеального смешения, то можно допустить, что все градиенты (концентрации, температуры) отсутствуют и скорости частиц не меняются.

Математическая модель процесса массовой кристаллизации, протекающего в емкостном кристаллизаторе, имеет вид:

· уравнение изменения концентрации раствора

(15.2)

· уравнение изменения температуры в реакторе

(15.3)

· уравнение баланса числа частиц

(15.4)

· выражение для скорости роста кристалла

(15.5)

· начальные условия

(15.6)

· граничное условие к уравнению (15.4)

(15.7)

Здесь t – время; с – концентрация кристаллизующегося компонента; r₁ – плотность раствора; – плотность кристалла; Т – температура; C _{1 T}, C _{2 T} – теплоёмкости раствора и кристалла, соответственно; h – скорость роста кристаллов; – число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; R – наибольший размер кристалла; r ₀ – размер зародыша; I – скорость зародышеобразования; D H - тепловой эффект процесса; К – коэффициент теплопередачи; F – поверхность кристаллизатора; Т_х – температура хладагента; – равновесная концентрация раствора; – пересыщение раствора; S_r – поверхность кристалла размером r; k ₂ – кинетическая константа скорости роста кристалла; k ₁ – кинетическая константа скорости зародышеобразования; m, p – показатели степени при пересыщении.

Равновесную концентрацию в небольшом диапазоне изменения температур можно представить в виде:

(15.8)

где a, b – константы.

Система уравнений (15.2)–(15.8), описывающих процесс массовой кристаллизации из растворов в емкостном кристаллизаторе, включает два интегро-дифференциальных уравнения (15.2) и (15.3), дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка (15.4), а также два алгебраических уравнения (15.5) и (15.8), начальные условия (15.6) и граничные условия (15.7). Рассмотрим метод численного решения системы (15.2)–(15.8).

Методика составления разностных схем для уравнений (15.2) и (15.3) была подробно рассмотрена в разделе 14.3.1; разностные схемы для данных уравнений имеют вид:

(15.9)

где n – порядковый номер точки деления по оси t; j – порядковый номер точки деления по оси r.

Рекуррентные соотношения для определения концентрации раствора и температуры имеют вид:

Разностная схема для уравнения (15.4) записывается с учётом правила выбора конечной разности для аппроксимации производной по r и принципа замороженных коэффициентов:

(15.10)

Рекуррентное соотношение для определения функции плотности распределения кристаллов по размерам имеет вид:

Уравнения (15.5)–(15.8) в разностном виде записываются следующим образом:

15.3. Определение устойчивости разностных схем

с помощью тестовых задач

15.3.1. Метод тестовых задач

Для исследования устойчивости сложных разностных схем, описывающих системы дифференциальных уравнений (то есть, когда исследование устойчивости с помощью спектрального метода затруднительно или вообще невозможно), применяют метод тестовых задач.

Как нам уже известно, устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена дифференциального уравнения, если он содержит только независимые переменные и не содержит функцию, изменение которой описывает дифференциальное уравнение. Иными словами, разностные схемы, отличающиеся только свободным членом типа

(15.11)

обладают одинаковым типом устойчивости.

С другой стороны, если известно истинное решение дифференциального уравнения, то его всегда можно сравнить с решением, полученным при использовании той или иной разностной схемы, и таким образом определить, устойчива она или нет:

(15.12)

Здесь – истинное решение исходного дифференциального уравнения в точке ; – решение разностной схемы в точке .

Таким образом, суть метода тестовых задач заключается в следующем. Сначала необходимо задать некую функцию от независимых переменных, называемую тестом. Затем надо построить дифференциальное уравнение (тестовую задачу), для которого выбранный тест будет являться истинным решением; при этом новое дифференциальное уравнение должно отличаться от исходного только свободным членом типа (15.11). Далее, решая новое дифференциальное уравнение с помощью какой-либо разностной схемы, мы сможем сделать вывод о её устойчивости на основании сравнения полученных численных значений со значениями истинного решения (т.е., выбранного теста) в тех же точках разностной сетки. Если решение тестовой задачи подтверждает устойчивость разностной схемы, использовавшейся для её решения, то данную разностную схему также можно использовать для численного решения исходного дифференциального уравнения, истинное решение которого нам неизвестно. Если решение тестовой задачи свидетельствует о неустойчивости разностной схемы, использовавшейся для её решения, тогда следует выбрать другую разностную схему.

Обратим внимание на то, что при выборе теста целесообразно использовать функцию такого же типа, как и в выражении для свободного члена (15.11): если выражение (15.11) является алгебраическим, то тест следует задавать в виде алгебраической функции; если выражение (15.11) является тригонометрическим, то тест следует задавать в виде тригонометрической функции; если выражение (15.11) является экспоненциальным, то тест следует задавать в виде экспоненты и т.д.

15.3.2. Пример на построение тестовой задачи

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа, для решения которого требуется подобрать устойчивую разностную схему:

(15.13)

Зададим тестовую функцию в виде:

(15.14)

Определим производные от тестовой функции (15.14), входящие в исходное уравнение (15.13):

(15.15)

Представим дифференциальное уравнение, истинным решением которого должна быть тестовая функция (15.14), в следующем виде:

Подставляя выражения (15.15) в данное уравнение, определим вид неизвестной функции , входящей в состав свободного члена:

Таким образом, мы построили дифференциальное уравнение, которое отличается от исходного уравнения (15.13) только видом свободного члена и для которого, в то же время, тестовая функция (15.14) является истинным решением:

(15.16)

Однако для того чтобы его решить с использованием численных методов, требуется задать начальное и граничные условия. Зададим эти условия с помощью истинного решения уравнения (15.16), то есть с помощью тестовой функции (15.14):

Теперь мы можем записать для уравнения (15.16) какую-либо разностную схему, решить уравнение (15.16) с её помощью, сравнить полученные численные значения со значениями тестовой функции (15.14) в тех же точках разностной сетки и на основании выражения (15.12) сделать вывод об устойчивости использовавшейся разностной схемы. Поскольку уравнения (15.13) и (15.16) отличаются только видом свободного члена, в состав которого в обоих случаях не входит искомая функция, то одинаковые разностные схемы для этих уравнений будут обладать одинаковым типом устойчивости.