Методы расчета среднего удельного давления в очаге деформации при прокатке тонких широких полос

Методы расчета силы прокатки.

Общие положения.

Силой прокатки называют силу, возникающую в очаге деформации между полосой и каждым из валков под воздействием контактных напряжений. Чаще всего ее обозначают латинской буквой P. На стане, содержащем несколько рабочих клетей, этой силе присваивают индекс “ i ” – номер рабочей клети: P_i.

Обычно при расчете силы прокатки учитывают действие только нормальных контактных напряжений p_x, а касательными контактными напряжениями τ_x в этом расчете пренебрегают.

Вычисление силы прокатки – необходимый элемент конструкторского и технологического расчетов прокатного стана.

По силе прокатки проверяют прочность и жесткость деталей рабочей клети. При назначении параметров режима прокатки (обжатий, натяжений, скоростей и т.д.) проверяют, не превышено ли в какой-либо клети максимально допустимое значение силы прокатки.

Согласно 3^му закону Ньютона, в контакте полосы и валка действуют две равные по величине, но противоположно направленные силы P_i: одна – со стороны бочки валка на прокатываемую полосу, другая – со стороны полосы на бочку валка. Если решают задачу напряженно-деформированного состояния полосы, под силой прокатки подразумевают силу, действующую на полосу со стороны валка. Если рассчитывают рабочую клеть на прочность и жесткость, под силой прокатки подразумевают силу, действующую на каждый валок со стороны полосы.

Исходя из определения силы прокатки, ее общую формулу можно записать в виде:

, (8.1)

где знаком обозначен двойной (поверхностный) интеграл по площади контакта полосы и валков i -й рабочей клети (F_контi) функции, выражающей распределение по этой площади переменных контактных нормальных напряжений p_x.

Однако на практике в инженерных расчетах силу прокатки определяют по упрощенной формуле:

, (8.2)

где p_срi – среднее значение нормального контактного напряжения в очаге деформации i -й рабочей клети;

F_контi – площадь контакта каждого валка i -й клети с полосой.

Смысл формулы (8.2) заключается в том, что в формулу (8.1), вместо переменных значений p_x, меняющихся по длине очага деформации и по ширине полосы, подставляют одно постоянное значение p_срi, равное средней величине p_x для всей площади контакта. Таким образом, p_срi – это своего рода равнодействующее напряжение, вызывающее появление такой же силы прокатки, как совокупность переменных контактных напряжений.

Подстановка в формулу (8.1) значения p_x = p_срi дает формулу (8.2).

Чтобы применять ее на практике, необходимо изучить методы определения каждого ее сомножителя - p_срi и F_контi.

Из литературы по теории прокатки известны различные методы расчета величин p_срi и F_контi [1;2;3;4;6;9;10;11;12;15;16;27]. Подробное изложение методов, разработанных до 80^х годов 20 века, с примерами расчетов, дано в справочнике [23], опубликованном в 1986 году. Сведения о точности расчета силы прокатки с помощью этих методов в справочнике не приведены. Между тем, требуемая точность расчета (расхождение между рассчитанными и измеренными силами прокатки) – основной критерий, определяющий выбор той или иной методики.

Если расчет выполняют для проектно-конструкторских целей, высокая точность вычисления силы прокатки не требуется. Цель такого расчета – обеспечение необходимой прочности и жесткости деталей и узлов рабочей клети, для чего необходимо установить максимально допустимую силу прокатки. При этом возможную погрешность расчета обычно компенсируют введением коэффициента запаса прочности. В этом случае можно использовать любую известную методику расчета, хотя наибольшее распространение в инженерной практике получила методика А.И. Целикова и его учеников [1;2;6], подробно изложенная в учебном пособии одного из соавторов этой методики Г.С. Никитина, опубликованном в 2009 году [15].

Если расчет силы выполняется для разработки технологического процесса прокатки, для управления этим процессом, требования к точности этого расчета значительно выше, особенно при производстве тонких широких полос на современных непрерывных станах.

Это объясняется тем, что в последние десятилетия 20 века и в начале 21 века в мировом листопрокатном производстве повысились требования к точности размеров и плоскостности горячекатаных и холоднокатаных листов и обострилась энергетическая проблема, что потребовало разработки более точных методов настройки рабочих клетей на заданные параметры прокатки, а также расчета эффективных технологических режимов работы станов.

Это обусловило необходимость создания усовершенствованных методов расчета контактных напряжений и среднего удельного давления.

Достоверность и точность этих методов невозможно проверить на натурных моделях рабочих клетей, т.к. высокие скорости, температуры, обжатия, натяжения, характерные для широкополосных станов, в лабораторных условиях воспроизвести невозможно. Единственный способ оценки качества методики энергосилового расчета – сопоставление расчетных и измеренных сил прокатки и мощности главных двигателей на действующих станах.

Все это вызвало необходимость совершенствования известных методик и разработки таких методов расчета сил и мощности прокатки, которые обеспечивают минимально возможную погрешность.

Ниже, в п. 8.2, изложены эти методы, обоснованные в работах [5;25], в которых, приведены достоверные статистические данные о сопоставлении расчетных и измеренных сил прокатки. Указанные методики обеспечивают погрешность расчета в 2-5 раз меньшую, чем упомянутые известные методики.

Так же, как в работах А.И. Целикова, в новой методике принято, что уширение полосы отсутствует, контактные напряжения изменяются только по длине очага деформации, для их вычисления составляют и решают уравнение равновесия элементарного объема полосы в очаге деформации.

Основное отличие решений [5;25] состоит в том, что в упругих участках очага деформации, вместо уравнения пластичности, использовано уравнение, основанное на законах упругости. Кроме того, при горячей прокатке уточнены закономерности трения в зоне прилипания, занимающей от 83 до 99% длины очага деформации (эти отличия подробно изложены в главе 6).

Методы расчета среднего удельного давления в очаге деформации при прокатке тонких широких полос.

Согласно общим положениям, изложенным в п. 8.1, расчет величины p_срi в очаге деформации при прокатке тонкой широкой полосы основан на допущении о том, что нормальные контактные напряжения p_x по ширине полосы не изменяются, их изменение происходит только по длине очага деформации, по мере изменения толщины полосы.

Следовательно:

p_x = p_x(h_x) (8.3)

где толщина полосы h_x изменяется в i -й рабочей клети от значения на входе h_i-1, до значения на выходе h_i, проходя через минимальное значение h_min (см. рис. 8.1). Расчетные формулы p_x(h_x) для всех вариантов очагов деформации широкополосных станов приведены в главе 6.

б)

а)

Рис. 8.1 Схема очага деформации при холодной прокатке с одним нейтральным сечением (а) и график изменения нормальных контактных напряжений по его длине (б): p₁, p₂, p₃, p₄ – средние значения p_x на участках очага деформации: первом упругом, зонах отставания и опережения пластического участка, на втором упругом участке; p_срi – среднее удельное давление, NN – нейтральное сечение.

Величину p_срi определяют поэтапно следующим образом:

Первый этап.

Рассчитывают среднее значение p_x на каждом участке очага деформации. На рис. 8.1,б они показаны на примере очага деформации стана холодной прокатки с одним нейтральным сечением: p₁ – на первом упругом участке, p₂ – в зоне отставания пластического участка, p₃ – в зоне опережения пластического участка, p₄ – на втором упругом участке.

В очаге деформации стана холодной прокатки, состоящем целиком из зоны отставания, (см. главу 6, п.6.3, ж) рассчитывают три средних значения p_x: p₁ – на первом упругом участке, p₂₃ – на пластическом участке, не имеющем нейтрального сечения, и p₄ – на втором упругом участке, находящемся в зоне отставания.

В очаге деформации стана холодной прокатки, имеющем 2 нейтральных сечения (см. главу 6, п. 6.3, з), рассчитывают пять средних значений p_x: p_1­ – на первом упругом участке, p₂ и p₃ – в зонах отставания и опережения пластического участка, p₄ – в зоне опережения второго упругого участка, p₅ – в дополнительной зоне отставания второго упругого участка.

В очаге деформации широкополосного стана горячей прокатки, в котором, согласно допущению, обоснованному в главе 6, пластический участок находится в зоне прилипания (см. глава6, п. 6.5), рассчитывают три средних значения: p₁ – на первом упругом участке, p₂₃ – на пластическом участке, p₄ – на втором упругом участке.

Расчетные формулы средних значений p_x на каждом участке для всех вариантов очагов деформации приведены в сводной таблице 8.1.

Каждая из этих формул получена путем интегрирования выражения p_x(h_x) на соответствующем участке и деления полученного выражения на разность толщин полосы в начале и в конце этого участка.

Например, в зоне отставания пластического участка очага деформации, показанного на рис. 8.1, среднее значение p_x(h_x) будет равно:

. (8.4)

Смысл формулы (8.4) заключается в том, что определенный интеграл в ее числителе представляет собой площадь, расположенную под кривой p_x(h_x), которая в некотором масштабе равна силе, действующей на данном участке очага деформации. Чтобы среднее напряжение p₂ вызывало такую же силу, надо обеспечить равенство этой площади и площади прямоугольника, имеющего длину (h_упр-h_Н) и высоту p₂.

Разделив интеграл на , мы обеспечиваем выполнение этого равенства.

Аналогично получены формулы всех средних значений p_x, приведенные в табл. 8.1.

Изучающим курс теории прокатки рекомендуется самостоятельно вывести эти формулы и сопоставить их с формулами табл. 8.1.

Второй этап

По найденным на первом этапе средним значениям нормальных контактных напряжени й на отдельных участках очага деформации (см. табл. 8.1) вычисляют среднее нормальное напряжение (среднее удельное давление) для очага деформации в целом по формулам, приведенным в табл. 8.2:

Таблица 8.1

Средние значения нормальных контактных напряжений на участках очагов деформации

широкополосных станов

Наименова-ние участка, его длина	Вариант очага деформации	Толщина полосы	Расчетная формула среднего значения px на участке
На входе в уч-к	На выходе из уч-ка
Первый упругий, x1упр	Все варианты (горячая и холодная прокатка)	hi-1	h1упр	где , ; EП – модуль упругости материала полосы, σфi – сопротивление пластической деформации в i -ой рабочей клети, δi-1­=μi/tg(α/2); σi-1 – заднее удельное натяжение, μi – коэффициент трения в i -ой клети (см. рис. 8.1 и главу 6).
Зона отставания пластического участка, xпл.отст	Холодная прокатка, очаг деформации с 1м и 2мя нейтральными сечениями	h1упр	hН

Таблица 8.1

(продолжение)

Зона опережения пластического участка, xпл.опер	Холодная прокатка, очаг деформации с одним нейтральным сечением	hН	hmin	δi=μi/tgβ; σi – переднее удельное натяжение (см. рис. 8.1 и главу 6)
Зона опережения пластического участка, xпл.опер	Холодная прокатка, очаг деформации с двумя нейтральными сечениями	hН1	hmin	а) Сначала определяют значение px в первом нейтральном сечении по формуле: б) Затем вычисляют среднее значение px на участке, подставляя рассчитанное в п. а) значение px(hx=hН1) в формулу p3:

Таблица 8.1

(продолжение)

Пластический участок, xпл	Холодная прокатка, очаг деформации, состоящий только из зоны отставания (без нейтрального сечения)	h1упр	hmin
Пластический участок, xпл= xпл.отст+ + xпл.опер	Горячая прокатка, зона прилипания	h1упр	hmin	где p1упр – значение px(hx), рассчитанное по формуле, приведенной в таблице 6.8 главы 6 для первого упругого участка, в которую подставлено: hx=h1упр.
Второй упругий, x2упр	Горячая и холодная прокатка, одно нейтральное сечение	hmin	hi

Таблица 8.1

(окончание)

Второй упругий, x2упр	Холодная прокатка, без нейтральных сечений	hmin	hi
Зона опережения второго упругого участка, x2упр.опер	Холодная прокатка, с двумя нейтральными сечениями (см. схему на рис. 6.10)	hmin	hН2	а) Сначала определяют значение px во втором нейтральном сечении: б) Затем вычисляют среднее значение px на участке, подставляя найденное в п. а) значение px(h2=hН2) в формулу:
Зона отставания второго упругого участка, x2упр.отст	Холодная прокатка, с двумя нейтральными сечениями (см. схему на рис. 6.10)	hН2	hi

Таблица 8.2

Формулы среднего удельного давления для разных вариантов очага деформации при прокатке тонких широких полос.

Вариант очага деформации	Расчетная формула pср
Холодная прокатка, 1 нейтральное сечение
Холодная прокатка, без нейтральных сечений
Холодная прокатка, 2 нейтральных сечения
Горячая прокатка

Преимущество формул, приведенных в таблицах 8.1 и 8.2, состоит в том, что их применение позволяет определить силу прокатки с минимальной погрешностью относительно измеренных сил. Это очень важно при расчете эффективных технологических режимов, обеспечивающих минимальный расход энергии и высокое качество прокатываемых полос при максимально возможной скорости прокатки. Указанное преимущество достигнуто благодаря тому, что при расчете контактных напряжений на упругих участках очага деформации, вместо условия пластичности, использованы уравнения упругости, а при горячей прокатке учтены особенности трения в зоне прилипания (это подробно объяснено в главе 6). Однако такой метод привел к появлению весьма громоздких расчетных формул таблицы 8.1, для применения которых целесообразно использовать компьютер.

Если решают задачи конструкторского характера, выполняют прочностные расчеты оборудования, можно вычислить среднее удельное давление при прокатке тонких широких полос по приближенной формуле А.И. Целикова [1;2]:

, (8.5)

где: Δh_i =h_i-1-h_i – абсолютное обжатие в i -й рабочей клети;

, - коэффициенты, учитывающие влияние заднего и переднего удельных натяжений полосы σ_i-1, σ_i:

; ; (8.6)

δ_i – коэффициент, учитывающий влияние коэффициента трения μ_i в очаге деформации i -й клети:

; (8.7)

- длина очага деформации в i -й клети, с учетом упругого сплющивания полосы и валков (см. формулы (6.40) – (6.48) главы 6);

h_Н – толщина полосы в нейтральном сечении, вычисляемая по формуле:

, (8.8)

При выводе формулы (8.5) были приняты следующие допущения:

1. Имеет место двумерная деформация, т.е. уширение полосы отсутствует и контактные напряжения по ширине полосы не изменяются, их изменение происходит только по длине очага деформации.

2. В каждом поперечном сечении очага деформации по толщине полосы сжимающие напряжения σ_x, параллельные оси прокатки, не изменяются (иногда это допущение называют гипотезой плоских сечений).

3. Закон трения скольжения действует на всей протяженности контакта полосы и валков (прилипание не учитывается).

4. Условие пластичности также действует на всей протяженности очага деформации.

Последние два допущения не соответствуют условиям работы современных широкополосных станов, поэтому расчеты по формуле (8.5) могут приводить к значительным погрешностям.

В прочностных расчетах оборудования эти погрешности компенсируют введением коэффициента запаса прочности, а для технологических расчетов формулу (8.5) использовать не рекомендуется.