Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера

Изучение линейных неоднородных уравнений Эйлера также целесообразно начинать с уравнений 3-го порядка: . (11)

В случае решения неоднородного уравнения Эйлера более естественно использование способа решения подстановкой: = . В этом случае стандартный алгоритм решения уравнения (11):

1. Записываем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для функции = с учётом преобразования = , причём = = :

= . (12)

2. Применяем стандартный алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для функции одним из способов:

Ÿ если − произвольная функция → применить метод вариации произвольных постоянных величин;

Ÿ если − специальная функция → применить метод неопределённых коэффициентов.

3. Полученное любым из способов решение уравнения (12) переписываем с учётом используемой подстановки: заменяем выражением .

Представленные ниже Примеры иллюстрируют наиболее характерные случаи решения неоднородных дифференциальных уравнений Эйлера.

☺☺

Пример 10 – 10: Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: = (или = ). В заданном уравнении коэффициенты равны: =1, =0, =–2, =0. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

= , или = .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: =0, =0, =3.

3). Строим ФСР для уравнения : = , = , = , записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения : = .

4). Правая часть специальная: = . Ей соответствует число = = . Устанавливаем классификационный случай – это так как , и .

5). Ищем частное решение в виде функции = , вычисляем производные: этой функции = , = , = . Подставляя функцию и её производные в уравнение , получаем тождество: , откуда находим: = частное решение = .

6). Учитывая = , запишем общее решение исходного уравнения: = + .

Ответ: общее решение: = .

Пример 10 – 11: Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: = (или = ). В заданном уравнении коэффициенты равны: , . Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

= , или = .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение: , его корни: = .

3). Строим ФСР для уравнения : = , = , записываем общее решение линейного однородного уравнения для уравнения : = .

4). Правая часть специальная: = . Ей соответствует число = = . Устанавливаем классификационный случай – это так как и .

5). Ищем частное решение в виде функции = , вычисляем производные: этой функции = , = . Подставляя функцию и её производные в уравнение , получаем тождество: , откуда находим: =2 частное решение = .

6). Учитывая = (то есть ), запишем общее решение исходного уравнения: = + .

Ответ: общее решение: = + .

☻