Общие свойства кривых второго порядка. 4 страница

Найдём условия того, что прямая : касается параболы , то есть совпадает с касательной параболы : = в точке .

Известно, что две прямые и совпадают, если = = . В нашем случае это условие принимает вид: , откуда = и = . Так как точка принадлежит , то выполняется равенство: , или:

. (29)

Итак, мы имеем необходимое условие (29) касания заданной прямой заданной параболы. Будет ли это условие достаточным? Пусть условие (29) выполняется. Перепишем его в виде: .

Последнее означает, что точка: = , = принадлежит параболе. Подставим координаты точки в уравнение касательной параболы, то есть в уравнение: . Получаем: , или . Это значит, если условие (29) выполняется, то прямая есть касательная гиперболы. Таким образом, условие (29) есть необходимое и достаточное условие того, что касается гиперболы.

Замечание: легко заметить, что условие (29) невозможно при значении , если и имеют разные знаки; это геометрически невозможно, когда парабола расположена справа от оси , а точка касания оказалась слева от неё.

Отметим оптические свойства параболы: лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы образуют пучок, параллельный оси параболы (это учитывают при создании прожекторов и теле- и радиоантенн)!

Замечание: Это значит, что у инженера Гарина был не гиперболоид (как пошутил Алексей Толстой), а параболоид!

☺☺

Пример 5 – 20: Найти уравнение касательной к параболе , параллельной прямой : .

Решение:

1). Уравнение касательной должно иметь вид : , или , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения прямой с касательной .

2). Воспользуемся условием: . В данном примере: . Значение параметра =4. Знаки и совпадают!

3). Как и следовало ожидать (из геометрических соображений!), у параболы одна касательная, параллельная заданному направлению. Одна : .

Ответ: касательная одна : , или .

Рассмотрим несколько примеров, в которых обобщается использование свойств кривых второго порядка.

☻

Пример 5 – 21: Составить уравнение касательной к эллипсу: , перпендикулярной прямой : .

Решение:

1). Имея , легко записать уравнение касательной эллипса, перпендикулярной , в виде : = , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения: = . Если воспользоваться условием (26): , то для данного примера получим равенство: , откуда значение параметра = 10.

2). Запишем уравнения касательных, перпендикулярных заданному направлению. Одна : и вторая : .

Ответ: касательные : и : .

Пример 5 – 22: На эллипсе: найти точку , ближайшую к прямой : и вычислить расстояние от точки M ₀ до этой прямой.

Решение:

1). Учтём свойство эллипса по отношению к его касательным: его верхняя половина располагается под касательной, а нижняя над касательной. Заметим также, что рисунок не отражает окончательные результаты решения задачи: взаимное расположение всех геометрических фигур на самом деле может оказаться другим. Рисунок мы рассматриваем как эскиз образа исходных данных задачи.

2). Так как касательные: и должны быть параллельны прямой , то общим уравнением для них может быть запись: = , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения: с и . Если воспользоваться условием (26): , то для данного примера получим равенство: , откуда значение параметра = 24. Для верхней касательной имеем : , или , для нижней касательной, соответственно : .

3). Полученные результаты позволяют уточнить взаимное расположение , , и эллипса. Так как прямая пересекает ось в точке (0; 11.5), то ближе к прямой располагается множество точек касательной . Так как прямая пересекает ось в точке (0; 12), то она располагается выше прямой . Точка определяется из полученных ранее выражений с учётом окончательной записи : = = =–5, = = =2.

4). Нормализуя заданное уравнение, получаем : . Для нахождения расстояния между параллельными прямыми: и воспользуемся точкой (0,12), принадлежащей , а не точкой . Для выделенной точки отклонение от : = =– .

5). Тогда можем записать: = = .

Ответ: точка: (– 5,2); расстояние: = .

Пример 5 – 23: На гиперболе: найти точку , ближайшую к прямой : и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

Решение:

1). Учтём свойство гиперболы по отношению к её касательным: её верхняя половина располагается под касательной, а нижняя над касательной. Заметим также, что рисунок не отражает окончательные результаты решения задачи: взаимное расположение всех геометрических фигур на самом деле может оказаться другим. Рисунок мы рассматриваем как эскиз образа исходных данных задачи.

2). Из условия следует, что угловые коэффициенты асимптот гиперболы: k = . Угловой коэффициент прямой равен = . Проверим выполнимость условия (27): . Угловой коэффициент прямой равен > → касательная существует, и условие (27) выполняется.

3). Так как касательные: и должны быть параллельны прямой , то общим уравнением для них может быть запись: = , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения: с и . Воспользуемся условием: . В данном примере: = . Значение параметра = 12. Это значит : , : .

4). Так как прямая пересекает ось в точке , ближе к ней располагается прямая . Это значит, по условию задачи нам нужна точка . Вычислим её координаты: = = =–6, = = =3.

5). Нормализуя заданное уравнение, получаем : =0. Для нахождения расстояния между параллельными прямыми: и воспользуемся точкой (–4,0), принадлежащей , а не точкой . Для выделенной точки отклонение от : = , или =– .

6). Тогда можем записать: = = .

Ответ: точка: (– 6,3); расстояние: = .

Пример 5 – 24: На параболе: найти точку , ближайшую к прямой и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

Решение:

1). Учтём свойство параболы по отношению к её касательным: её верхняя половина располагается под касательной, а нижняя над касательной. Заметим также, что рисунок не отражает окончательные результаты решения задачи: взаимное расположение всех геометрических фигур на самом деле может оказаться другим. Рисунок мы рассматриваем как эскиз образа исходных данных задачи. Понятно, что точка должна лежать на касательной гиперболы, параллельной заданной прямой.

2). Из условия следует, что угловой коэффициент касательной должен быть: = – . Это значит, что точка касания располагается на нижней ветви параболы.

3). Уравнение касательной должно иметь вид : , или , причём за счёт выбора соответствующего значения параметра можно добиться совпадения прямой с касательной .

4). Воспользуемся условием: . В данном примере: . Значение параметра =36. Тогда уравнение касательной :

4). Вычислим координаты точки касания: = = =9 и = = = – 24.

5). Нормализуя заданное уравнение, получаем : =0. Для нахождения расстояния между параллельными прямыми: и воспользуемся точкой (–9,0), принадлежащей , а не точкой . Для выделенной точки отклонение от : = = – 10.

6). Тогда можем записать: = =10.

Ответ: точка: (9, – 24); расстояние: =10.

☻