Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах

ГЕОМЕТРИЯ

Часть I

ВЕКТОРЫ. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарность и компланарность. Координаты вектора в аффинной системе координат. Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, который обозначается символом или одной строчной буквой (рис. 3.1).

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор. Записи и обозначают модули векторов и соответственно. Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом: орт обозначается .

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается символом . Длина такого вектора равна нулю и ему можно приписать любое направление.

Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными ().

Два вектора называются равными (), если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.

Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Рассмотрим линейные операциями над векторами.

Произведением вектора на действительное число называется вектор , длина которого , а направление совпадает с , если , и противоположно , если . Из определения следует, что векторы и всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Следовательно, равенство

(2.1)

выражает условие коллинеарности двух векторов.

Противоположным вектором называется произведение вектора на число , т.е. . Если , то орт вектора находится по формуле

. (2.2)

Суммой двух векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы , ,…, образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору .

Разностью двух векторов и называется вектор , являющийся суммой векторов и . Отметим, что вектор направлен к концу вектора , если и приведены к общему началу (рис. 2.2, б).

Введенные операции умножения вектора на число и сложения векторов называются линейными и удовлетворяют ( и ) следующим свойствам:

1о. ; 2о. ; 3о. ;

4о. ; 5о. ; 6о. 1 = ;

7о. ; 8о. () = + .

Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.

Скалярным произведением двух векторов и (обозначается ) называется число, равное произведение модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними (рис. 3.6). Таким образом, по определению

. (2.16)

Так как произведение есть проекция вектора на ось, определяемую вектором (обозначается ), и - проекция вектора на ось вектора (обозначается ), то из (3.16) следует, что

. (2.17)

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:

(2.18)

В частном случае, если , то

(2.19)

Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1о. Скалярное произведение коммутативно:

.

2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:

3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:

.

4о. (либо , либо , либо ). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.

Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:

.

Таким образом,

, (2.20)

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Найдем выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов. Координатные орты имеют длины, равные единице, т.е. . Далее, так как эти векторы взаимно ортогональны, то .

Пусть даны два вектора и . В таком случае

, (2.21)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.

В частности, положив в (2.21) , найдем

.

Отсюда следует, что

. (2.22)

Используя координатную форму скалярного произведения, получаем, что условие ортогональности ненулевых векторов и имеет вид

. (2.23)

Выражая скалярное произведение и модули векторов через их проекции по формулам (3.21) и (3.22), получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

. (2.24)

Пусть дан вектор и ось l, которая составляет с базисными векторами соответственно углы . Найдем . Для этого зададим направление оси l ортом . Тогда, согласно (2.19)

. (2.25)

Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. êc ê = êa ê êb êsin (a^b).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a´ b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то

[ab] = =`i (a2b3 - a3b2) - `j (a1b3 - a3b1) + `k (a1b2 - a2b1).

Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то

abc = .

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то a b c <0 и V = - a b c, следовательно V = ê a b c ê.

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а ^о. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или ê а ê, ê АВ ê обозначаются модули векторов а и АВ.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть прямая в аффинной системе координат Oxy определяется уравнением

Ax + By +C = 0. (1)