Определение. Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

• Если случайная величина X вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U (t):

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

[править] Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D [ a ] = 0. Верно и обратное: если D [ X ] = 0, то X = M [ X ] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где ;

• В частности, D [ X ₁ +... + X_n ] = D [ X ₁] +... + D [ X_n ] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• 
• 
• 

[править] Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины