Норма вектора евклидового пространства. Неравенство Коши - Буняковского

Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину или норму вектора и угол между векторами. Определение 2.2 Длиной вектора x в евклидовом пространстве называется число

(4)

Длину вектора x будем обозначать через |x|.

Для того чтобы можно было в дальнейшем определить угол φ между векторами нужно доказать, что или, что то же самое, что ведь (5). Пока примем это утверждение как очевидный факт, все мотивы его появления описаны в следующей главе. т.е. (6)Это неравенство называется неравенством Коши--Буняковского.

Доказательство: Рассмотрим вектор x-ty, где t -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4⁰ скалярного произведения т.е. для любого t Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно t трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать. [2]