Обобщенный закон Ньютона

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Ньютон сформулировал закон, связывающий касательное напряжение трения между двумя слоями прямолинейно движущейся реальной (вязкой) жидкости с отнесенным к единице длины изменением скорости по нормали к направлению движения:

(6.1)

При V = 0, то и τ = 0, т.е. касательное напряжение отсутствует.

Динамический коэффициент вязкости

(6.2)

Динамический коэффициент вязкости не зависит от характера движения потока, а определяется лишь физическими свойствами жидкости и ее температурой.

Кинематический коэффициент вязкости

(6.3)

где

Вязкость газов – следствие хаотического движения молекул.

В жидкостях вязкость обусловлена в первую очередь межмолекулярным взаимодействием,

которым ограничена подвижность молекул жидкости.

Вязкость жидкостей зависит от ее химического состава – химической структуры молекул.

Таблица 6.1

Значения коэффициентов вязкости воды

t, °C	μ ∙103	ν ∙106	t, °C	μ ∙103	ν ∙106
	1,792	1,792		0,656	0,661
	1,519	1,519		0,599	0,605
	1,308	1,308		0,549	0,556
	1,140	1,141		0,469	0,477
	1,005	1,007		0,406	0,415
	0,894	0,897		0,357	0,367
	0,801	0,804		0,317	0,328
	0,723	0,727		0,284	0,296

Таблица 6.2

Значения коэффициентов вязкости воздуха

t, °C	μ ∙105	ν ∙104	t, °C	μ ∙105	ν ∙104
	1,709	0,132		2,425	0,298
	1,808	0,150		2,505	0,322
	1,904	0,169		2,582	0,346
	1,997	0,188		2,658	0,371
	2,088	0,209		2,733	0,397
	2,175	0,230		2,806	0,424
	2,260 2,344 3,014 3,080 3,146 3,212 3,277	0,252		2,877	0,451
	0,274		2,946 3,340 3,402 3,463 3,523 3,583	0,481 0,656 0,688 0,720 0,752 0,785
	0,507 0,535 0,565 0,596 0,625

С повышением температуры величина вязкости жидкостей убывает, а газов – растет. Динамический коэффициент вязкости у жидкостей значительно больше, чем у газов, а кинематический коэффициент, вследствие значительно большей плотности жидкостей, меньше.

Строгой теории вязкости жидкостей в настоящее время нет. Поэтому для жидкостей, как и для газов, применяются различные эмпирические и полуэмпирические формулы зависимости их вязкости от температуры.

Формула Г.М. Панченкова

(6.5)

где R – постоянная жидкости; ω – собственный объем молекул в расчете на одну грамм-молекулу; N ₀ – число молекул в одной грамм-молекуле; ρ – плотность жидкости; М – масса молекулы; Т – абсолютная температура; ε – энергия связи молекул жидкости.

Для газов зависимость динамического коэффициента вязкости от температуры может быть представлена формулой Саттерленда

(6.7)

где С – постоянная Саттерленда; для воздуха С ≈ 122.

Возможно и использование формулы

μ = μ₀ (6.8)

где n зависит от диапазона температуры и вида газа.

Плотность капельных жидкостей с ростом давления изменяется мало. Плотность газов, наоборот, при постоянной температуре возрастает практически прямо пропорционально росту давления.

Плотность идеального (совершенного) газа может быть определена по уравнению состояния Клапейрона

(6.14)

где R – универсальная физическая постоянная.

По уравнению Ван-дер-Ваальса для реального газа

(6.15)

где a и b – постоянные, зависящие от природы газа.

Рассмотрим произвольное плоское и параллельное плоскости xOy движение вязкой жидкости. Разложим его на два – параллельных осям x и y. Тогда для движений, параллельных осям x и y, можем записать соответственно

(6.17)

(6.18)

Следовательно, при произвольном движении, параллельном плоскости xOy, суммарное касательное напряжение

(6.19)

Соответственно для плоскостей xOz и yOz

(6.20)

(6.21)

Эти соотношения являются обобщением формулы Ньютона для касательных напряжений.

Обобщенный закон Ньютона устанавливает (при сравнительно небольших градиентах скоростей), что компоненты тензора напряжений являются линейными функциями составляющих тензора скоростей деформаций.

Рассмотрим вязкие нормальные напряжения.

(6.22)

где τ _xx, τ _yy, τ _zz – компоненты, зависящие от вязкости.

Предположим, что существует линейная связь между τ _xx, τ _yy, τ _zz и соответствующими компонентами тензора скоростей деформаций:

(6.23) – (6.25.)

Учитывая принятые предположения, можем записать

(6.26)

Отсюда величина

. (6.27)

Примем допущение, что и для вязкой среды взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды, является давлением в этой точке, т.е.

(6.28)

В соответствии с введенным допущением величина определится так:

Поэтому выражение обобщенного закона Ньютона для нормальных составляющих напряжений запишется следующим образом:

(6.29)

6.2. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ–СТОКСА

Рассмотрим изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае ρ = const и μ = const.

Используем для вывода уравнений движения уравнения в напряжениях:

(6.30)

Подставим выражения компонент напряжений из соотношений обобщенного закона Ньютона в уравнения (6.30). Рассмотрим ход преобразований на первом уравнении системы:

Проделав аналогичные преобразования с другими проекциями уравнений в напряжениях, получим систему уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости

(6.31)

(6.32)

(6.33)

К полученной системе уравнений необходимо присоединить уравнения сплошности для несжимаемой жидкости

(6.34)

Эти уравнения носят название уравнений Навье–Стокса.

Рассмотренным способом могут быть получены и уравнения движения совершенного вязкого сжимаемого газа.

Для вывода этих уравнений, как и раньше, воспользуемся уравнениями движения сплошной среды в напряжениях:

(6.35) или (6.36)

В соответствии с обобщенным законом Ньютона

(6.37)

Подставив в уравнения движения в напряжениях значения компонент тензора напряжений получим систему уравнений движения сжимаемого газа:

(6.38)

(6.39)

Для того чтобы замкнуть систему уравнений (6.38), (6.39), содержащую шесть неизвестных величин, к ней добавляют два уравнения, определяющие ρ (p, T) и μ (T).

Уравнения Навье–Стокса описывают движение вязкой жидкости и при вынужденном движении жидкости и при свободном.

Рассмотрим случай, когда плотность жидкости изменяется только в зависимости от температуры. Вектор плотности массовой силы, действующей на d τ, может быть определен как разность приложенной к нему силы тяжести и архимедовой силы , отнесенной к его массе:

(6.40)

, (6.41)

. (6.42)

Уравнения Навье–Стокса для свободного гравитационного движения вязкой несжимаемой жидкости при этом примут вид

(6.43)

(6.44)