 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Выборочная дифференциальная функция
|
|
Выборочным аналогом дифференциальной функции f(x) является функция
, где
есть частость попадания наблюдаемых значений СВХ в интервал [x, x + Dx), следовательно,
характеризует плотность частости на этом интервале.
- частость попадания наблюдаемых значений СВХ в частичный интервал, длина которого h, тогда выборочная дифференциальная функция
.
При х £ хнач и х ³ хкон
.
При построении графика выборочной функции плотности в качестве х принимают середину каждого частичного интервала. Удобно совмещать на одной координатной плоскости гистограмму частостей с графиком выборочной плотности.
Для рассматриваемого примера гистограмма частостей и график выборочной плотности имеют вид:
Теперь о свойствах выборочных характеристик, построенных по наблюдениям случайной выборки.
Предположим, что наблюдалась некоторая случайная величина ξ для которой F(x) – функция распределения (ее называют теоретической функцией распределения) и для которой существуют основные числовые характеристики (их называют теоретическими характеристиками): математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициенты асимметриии эксцесса и т.п.
На практике точный вид функции F(x) и точные значения основных теоретических числовых характеристик случайной величины ξ бывают неизвестны. Исследователь вынужден строить свои выводы о них лишь на основании ограниченного ряда выборочных характеристик, полученных для наблюдений ξ случайной выборки из интересующей генеральной совокупности. К основным выборочным характеристикам относятся: выборочная функция распределения Fn(x), выборочная относительная частота ni/n появления i - го возможного значения в n наблюдениях, выборочное среднее значение 
, выборочная дисперсия s2(n), выборочный коэффициент асимметрии A(n), выборочный коэффициент эксцесса E(n), выборочный коэффициент корреляции r(n).
Из закона больших чисел теории вероятностей следует, что при неограниченном увеличении объема выборки (т.е. при n → ∞) с вероятностью, близкой к единице, все основные выборочные характеристики стремятся к соответствующим теоретическим характеристикам исследуемой случайной величины ξ. Этот факт позволяет использовать выборочные характеристики для приближенного описания свойств случайной величины ξ для всей генеральной совокупности.
Все выборочные характеристики являются случайными величинами и поэтому возникает вопрос о законе распределения вероятностей каждой из них.
Из центральной предельной теоремы теории вероятностей следует, что асимптотически (при n → ∞) практически независимо от типа случайной величины все основные выборочные характеристики за исключением r ведут себя как нормально распределенные случайные величины. При этом, разумеется, параметры нормального закона, т.е. математическое ожидание и дисперсия, различные для разных выборочных характеристик. Так, например,
- математическому ожиданию ξ,
где σ2 - дисперсия ξ,
- вероятности i -го значения соответствующей дискретной случайной величины ξ и т.д.
Из центральной предельной теоремы также следует, что асимптотически (при n → ∞) случайная величина
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным нулю. При конечных (ограниченных) объемах случайной выборки поведение основных выборочных характеристик существенно зависит от закона распределения случайной величины ξ.
Пусть, например, случайная величина ξ ˜ (a, σ2) Тогда оказывается (теорема Фишера), что при любом конечном объеме n > выборки (а не только при n → ∞) случайная величина
т.е. распределена по нормальному закону с параметрами a и σ2/ n. Кроме того, в этом случае случайные величины x(n) и s2 независимы, причем
Если совместное распределение пары случайных величин (Х,У) является нормальным, то асимптотически (при n → ∞)распределение r(n) тоже является нормальным с
При малых объемах n выборки или при значениях | r(n) |, близких к единице, это приближение является достаточно грубым.
Заметим в заключение, что каждый член дискретного вариационного ряда х(1), х(2),…., х(n), построенного для наблюдений х1, х2,…., хn, называется порядковой статистикой. Порядковые статистики тоже относятся к основным выборочным характеристикам. Они являются выборочными аналогами квантилей случайной величины.
23. Точечные оценки параметров распределения.
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.
Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая значения количественного признака как независимые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.
Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.
Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной.
Поясним каждое из понятий.
Несмещенной называют статистическую оценку Q*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.
M(Q*) = Q.
Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.
При рассмотрении выборок большого объема (n велико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п®¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п®¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.
Рассмотрим точечные оценки параметров распределения, т.е.
оценки, которые определяются одним числом Q* =f(x1, x2,…,xn), где x1, x2,…,xn- выборка.
26. 1. Статистическое дискретное распределение. Полигон.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и ∑ni=n - объем выборки. Наблюдаемые значения х1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой ni/n=wi
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi.
Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:
| x1 | x2 | ... | xm |
| n1 | n2 | ... | nm |
(сумма всех частот равна объему выборки ∑ni=n)
или в виде таблицы распределения относительных частот:
| x1 | x2 | ... | xm |
| w1 | w2 | ... | wm |
(сумма всех относительных частот равна единице ∑wi=1)
Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.
Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:
| xi | |||||
| ni |
2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот:
| xi | |||||
| wi | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,n1),(х2,n2),...,(хk,nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х2, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi,ni) соединяют отрезками и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,w1),(х2,w2),...,(хk,wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им частоты wi. Точки (хi,wi) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот.
Пример 2. Постройте полигон частот и относительных частот по данным примера 1.
Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот:
2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма. Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно (или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
Замечание. Часто hi-hi-1=h при всех i, т.е. группировку осуществляют с равным шагом h. В этой ситуации можно руководствоваться следующими эмперическими рекомендациями по выборке а, k и hi:
1. Rразмах=Xmax-Xmin
2. h=R/k; k-число групп
3. k≥1+3.321lgn (формула Стерджеса)
4. a=xmin, b=xmax
5. h=a+ih, i=0,1...k
Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:
| Интервалы группировки | [h0;h1) | [h1;h2) | ... | [hk-2;hk-1) | [hk-1;hk) |
| Частоты | n1 | n2 | ... | nk-1 | nk |
Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты ni относительными частотами:
| Интервалы группировки | [h0;h1) | [h1;h2) | ... | [hk-2;hk-1) | [hk-1;hk) |
| Отн. частоты | w1 | w2 | ... | wk-1 | wk |
Пример 3. Из очень большой партии деталей извлечена случайная выборка объема 50 интересующий нас признак Х-размеры деталей, измеренные с точностью до 1см, представлен следующим вариоционным рядом: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Найти статистический интервальный ряд распределения.
Решение. Определим характеристики группировки с помощью замечания.
k≥1+3.321lg50=1+3.32lg(5•10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6
Имеем, a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, hi=22+4i, i=0,1,…,7.
| Интервалы группировки | 22-26 | 26-30 | 30-34 | 34-38 | 38-42 | 42-46 | 46-50 |
| Частоты ni | |||||||
| Отн.частоты wi | 0.02 | 0.08 | 0.2 | 0.36 | 0.18 | 0.1 | 0.06 |
Десятичные логарифмы от 1 до 10
| n | ||||||||||
| ln n ≈ | 0.3 | 0.48 | 0.6 | 0.7 | 0.78 | 0.85 | 0.9 | 0.95 |
Наиболее информативной графической формой частот является специальный график, называемы гистограммой частот.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•ni/h=ni - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению wi/h (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии wi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•wi/h=wi - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Пример 4. Постройте гистограмму частот и относительных частот по данным примера 3.
Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.
Выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 1019 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
