Равномерный закон распределения

Случайная величина называется распределённой равномерно на отрезке , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке ( — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке , на участок , представляющий собой часть отрезка .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем

Графически вероятность представляется в виде площади заштрихованного прямоугольника на рис. 24.

Распределение хи-квадрат

Частный случай гамма-распределения с параметрами и называется распределением хи-квадрат с степенями свободы (пишут ). Если случайная величина подчиняется закону , то её плотность распределения вероятностей есть

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

Кривые распределения (для различных значений ) изображены на рис. 25.

Случайная величина , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

Пусть и — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно и . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с степенями свободы:

Заметим, что распределение при больших значениях с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому при больших значениях вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].