Критерии выбора наилучших стратегий в условиях неопределенности

1. Критерий Вальда. Этот критерий основан на принципе крайнего пессимизма. Принимающий решение считает, что какую бы стратегию он ни выбрал, природа реализует свое наихудшее состояние. В наихудших условиях принимающий решение находит наилучший выход.

j

Таким образом, принимающий решение для каждой стратегии А_i находит наименьший выигрыш а_i=min а_ij, Затем среди наименьших выигрышей он находит наибольший:

(6.4.1)

Стратегия , соответствующая будет наилучшей по Вальду. Ее часто называют максиминной стратегией.

2. Критерий Сэвиджа. Этот критерий основан на принципе минимизации максимального риска. Риском r_ij, , , принимающего решение называют разницу между тем выигрышем, который он бы получил, если бы знал, какое состояние реализует природа и его реальным выигрышем, то есть, r_ij=β_ij – , где .

Матрица рисков R имеет вид:

П1 П2 … Пn

А2 r21 r22 … r2n

R=

Принимающий решение для каждой стратегии А_i находит максимальный риск r_i, r_i= . Затем из максимальных рисков выбирает минимальный:

(6.4.2)

Стратегия А_i0, соответствующая минимальному из максимальных рисков r_i0, будет наилучшей по Сэвиджу.

3. Критерий Гурвица. Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. Наилучшей по Гурвицу является стратегия А_i0, соответствующая числу а_i0, которое рассчитывается по формуле:

(6.4.3)

Значение параметра γ задает принимающий решение на основании своего опыта и характера. Если γ=1, то критерий Гурвица преобразуется в критерий крайнего пессимизма:

.

Если γ=0, то получаем критерий крайнего оптимизма:

.

Обычно, на практике, выбирают 0<γ<1.

Пример 6.4.1. Небольшое частное предприятие выпекает диетические хлебобулочные изделия. Оборудование позволяет выпекать 500, 600 или 700 кг изделий в день. Спрос на эти изделия так же может составлять 500, 600 или 700 кг в день. Если хлебобулочные изделия не продаются в этот день, то они возвращаются на предприятие для переработки. Затраты на производство 1 кг изделий составляют 2 тысячи рублей, а цена реализации – 3,5 тысячи рублей. Дополнительные затраты в случае возврата составляют 1 тысяча рублей на 1 кг изделий. Необходимо определить ежедневный объем выпечки диетических хлебобулочных изделий.

Решение. В этой ситуации можно выделить две стороны: менеджера предприятия, которому необходимо принять решение об объеме производства, действующего сознательно, и спрос на хлебобулочные изделия, который не является сознательно действующим противником. Ситуацию можно назвать конфликтной, так как результаты действий одной стороны зависят от действий другой стороны, не всегда благоприятных для первой.

В нашем примере один игрок – менеджер предприятия. Его возможные действия (стратегии): запланировать выпечку хлебобулочных изделий в объеме либо 500 кг, либо 600 кг, либо 700 кг. Второй игрок – спрос на хлебобулочные изделия (природа). Его возможные действия: установить спрос на хлебобулочные изделия в объеме либо 500 кг, либо 600 кг, либо 700 кг.

Рассчитаем платежную матрицу. Платежная матрица будет иметь размерность 3х3, так как игрок, принимающий решение, имеет три стратегии (А₁ – объем выпечки 500 кг, А₂ – объем выпечки 600 кг, А₃ – объем выпечки 700 кг), и второй игрок, природа, имеет три стратегии (П₁ – спрос составит 500 кг, П₂ – спрос составит 600 кг, П₃ – спрос составит 700 кг). Элементу платежной матрицы а₁₁ соответствуют стратегии А₁ и П₁, это значит, что предприятие выпечет 500 кг хлебобулочных изделий, и спрос на них определится в объеме 500 кг, т.е. все изделия будут реализованы в тот же день. Тогда прибыль предприятия составит (3,5 - 2) тыс. руб. х 500 = 750 тыс. руб., т.е. а₁₁ = 750 тыс. руб. Рассчитаем теперь элемент платежной матрицы а₁₂. Ему соответствуют стратегии А₁, П₂, т.е. предприятие выпечет 500 кг хлебобулочных изделий, а спрос на них определится в объеме 600 кг. Таким образом, все изделия проданы, и прибыль предприятия составит

(3,5 - 2) х 500=750 тыс. руб., т.е. а₁₂=750 тыс. руб. Аналогично а₁₃=750ден.ед. Рассчитаем элемент платежной матрицы а₂₁. Предприятие выпечет 600 кг хлебобулочных изделий, а спрос на них определится в объеме 500 кг, 100 кг хлебобулочных изделий будет возвращено на переработку. Тогда прибыль предприятия рассчитывается следующим образом: (3,5-2)х500+(-2-1)х100=750-300=450 тыс. руб., т.е. а₂₁=450 тыс. руб. Точно так же рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате платежная матрица в примере 6.4.1 будет иметь вид:

А2 450 900 900

А=

.

А3 150 600 1050

Так как в примере 6.4.1 отсутствует информация о вероятностях, с которыми реализуются стратегии природы, то имеем ситуацию неопределенности. Для выбора наилучших стратегий воспользуемся приведенными выше критериями.

1. Критерий Вальда. Для каждой из стратегий выберем наименьший выигрыш. Для стратегии А₁ все состояния природы равнозначны, поэтому условно будем считать, что наименьшим выигрышем принимающего решение будет прибыль 750 тыс. руб., т.е., а₁=750 тыс. руб. Для стратегии А₂ наихудшим будет состояние природы П₁, а наименьшим выигрышем а₂= 450 тыс. руб. Для стратегии А₃ наименьшим выигрышем будет а₃=150 тыс.руб. Запишем наименьшие выигрыши принимающего решение в дополнительный столбец платежной матрицы:

.

Далее из наименьших выигрышей принимающий решение выбирает наибольший, т.е. а₁=750= Наибольший из наименьших выигрышей соответствует стратегии А₁. Это будет наилучшая стратегия по критерию Вальда. Таким образом, если руководствоваться принципом крайнего пессимизма (критерием Вальда), то следует выпекать 500 кг хлебобулочных изделий диетических сортов в сутки. При этом прибыль предприятия будет не меньше 750 тыс. руб. при любом спросе.

2. Критерий Сэвиджа.

Рассчитаем риск для каждой пары стратегий природы и принимающего решение. Если бы менеджер предприятия точно знал, что природа реализует свое состояние П₁, т.е. спрос составит 500 кг, то он бы выбрал стратегию А₁; при этом предприятие получило бы прибыль 750 тыс. руб. – наибольшую для состояния природы П_1, β₁=750. Для состояния природы П₂ наибольшая прибыль равна β₂=900, а для состояния природы П₃- β₃=1050. По определению, для стратегии А₁ и состояния природы П₁ риск, r₁₁, составит β₁-а₁₁=750-750=0, для стратегии А₂ и состояния природы П₁ риск r₂₁ составит r₂₁= β₁-а₂₁=750-450=300, и так далее.

Получаем матрицу рисков:

	R=

А2 300 0 150

А2 r21 r22 r23

.

	А3 r31 r32 r33		А3 600 300 0

Далее принимающий решение для каждой стратегии выбирает максимальный риск. Для стратегии А₁ максимальным будет риск, равный 300, т.е. r₁=300. Аналогично r₂=300; r₃=600. В матрицу рисков добавляем столбец, содержащий максимальный риск для каждой стратегии:

	R=

А2 300 0 150 300

.

Из максимальных рисков принимающий решение выбирает минимальный: r₁ = r₂ = То есть минимальному из максимальных рисков соответствует и первая и вторая стратегия. Наилучшими по критерию Сэвиджа стратегиями будут А₁ и А₂.

3. Критерий Гурвица.

Пусть в примере 6.4.1 принимающий решение в равной мере оптимист и пессимист, и он использует критерий Гурвица, в котором γ=1/5.

Для каждой стратегии А_i рассчитаем число а_i; :

а₁=1/5*750+4/5*750=750,

а₂=1/5*450+4/5*900=810,

а₃=1/5*150+4/5*1050=870.

.

Числу а₃=870 соответствует стратегия А₃, т.е. при таком выборе параметра γ наилучшим по Гурвицу вариантом является выпечка 700 кг хлебобулочных изделий.

Таким образом, в примере 6.4.1 лучшей по всем критериям будет первая стратегия. Однако, в некоторых задачах разные критерии могут рекомендовать различные стратегии. Это объясняется неопределенностью ситуации, и тогда можно провести дополнительные исследования. И хотя использование игры с природой при принятии решений в условиях неопределенности не всегда дает однозначный результат, принимающий решение упорядочивает данные, определяет состояния природы и свои возможные решения, оценивает потери и выигрыши для различных вариантов, что способствует повышению качества принимаемых решений.