Ортогональная проекция вектора в пространстве

О ртогональная проекция есть частный случай параллельной проекции и, поэтому для нее справедливы те общие результаты, которые мы уже получили. В то же время ортогональная проекция обладает рядом геометрических свойств, которые выгодно отличают ее от других видов проекции. Физика также имеет свой собственный интерес к этому виду проекции. Например, работа силового поля зависит именно от ортогональной проекции силы на направление перемещения. Можно, видимо, утверждать, что ортогональная проекция и, связанная с ней, ортогональная система координат, о которой мы будем говорить в дальнейшем, выделена самой природой.

Ортогональная проекция вектора на плоскость

Ортогональную проекцию мы получим, если вектор, задающий направление проектирования, ортогонален плоскости, на которую производится проектирование. Поскольку при ортогональном проектировании направление проектирования задается однозначно самой плоскостью, то в условном обозначении его можно опустить: .

Рис. 9

Для получения ортогональной проекции вектора на плоскость достаточно из начала и конца вектора опустить на эту плоскость перпендикуляры. Основания этих перпендикуляров и определяют проекцию вектора на плоскость (рис. 9): .

Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось

Для построения ортогональной проекции вектора на прямую или ось необходимо использовать проектирующую плоскость α ортогональную прямой, либо просто опустить на прямую перпендикуляры (, ) из начала и конца вектора (рис 10).

Рис. 10

В условных обозначениях это запишется так:

; и для алгебраической величины ортогональной проекции вектора на направленную ось – , где s – знак плюс или минус.

Теперь придется сказать несколько слов об употреблении термина "проекция". Мы уже ввели несколько понятий, каждое из которых претендует на это название: проекция вектора на плоскость, "векторная" проекция вектора на прямую, алгебраическое значение проекции вектора на направленную ось, ортогональная проекция вектора на плоскость, "векторная" ортогональная проекция вектора на прямую и алгебраическое значение ортогональной проекции вектора на направленную ось. Наиболее длинным и неудобным по названию и одновременно наиболее часто используемым является последнее понятие. В силу этого название "проекция" в векторной алгебре закрепилось именно за алгебраическим значением ортогональной проекции вектора на направленную ось. В дальнейшем мы также не будем отступать от этой традиции, тем более что из контекста обычно всегда ясно, о чем идет речь.

Итак, проекцией вектора на направленную ось будем называть алгебраическое значение его ортогональной проекции на эту ось.

Мы не будем считать это определением проекции вектора на направленную ось, а лишь удобным соглашением о названии.

Свойства ортогональной проекции вектора на направленную ось.

1. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

Для двух векторов:

;

и для любого их количества

.

2. Проекция произведения вектора на действительное число λ равна произведению числа λ на проекцию вектора .

.

Если первые два свойства справедливы для всех типов проекций, и мы их сформулировали более для порядка, то следующее свойство является "визитной карточкой" ортогональной проекции.

3. Проекция вектора на направленную ось равна произведению его модуля на , где угол – угол между вектором и направленной осью (рис. 11). Дадим этому свойству доказательство.

Рис. 11

Доказательство

Спроектируем точки и (конечно, ортогонально) на прямую . Вектор есть проекция вектора : . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы точка совпала с точкой . Минимальный угол между векторами и принимается за угол принимается за угол φ между вектором и осью. Поскольку равные векторы имеют и равные проекции, то проекции векторов и одинаковы и равны . Алгебраическая величина проекции вектора , или просто проекция, в соответствии с соглашением о названиях, равна , где s означает знак "плюс" или "минус". А модуль вектора , в свою очередь, равен произведению модуля вектора на :

.

Учитывая, что

и

, получаем окончательно .

41.

Логарифмической называется функция вида у = log_a x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение log_a x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

Это утверждение следует из того, что для любого числа b (b – действительное чсило) есть такое положительное число х, что log_a x = b, т.е. уравнение
log_a x = b имеет корень. Такой корень существует; он равен х = а^b, так как log_a а^b = b.

3) Логарифмическая функция у = log_a x является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.

Предположим, что а > 1. Докажем, что если х₂ > х₁ > 0, то у (х₂) > у (х₁), т.е. log_a х₂ > log_a х₁. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие х₂ > х₁ можно записать так: а ^{loga х2} >а ^{loga х1}. Из этого неравенства по свойству степени с основанием а > 1 с ледует, что log_a х₂ > log_a х₁.

Пусть 0 < а < 1. Докажем, что если х₂ > х₁ > 0, то log_a х₂ < log_a х₁. Записав условие х₂ > х₁ в виде а ^{loga х2} > а ^{loga х1}, получим log_a х₂ < log_a х_1, так как 0 < а < 1.

4) Если а > 1, то при х > 1 функция у = log_a x принимает положительные значения, а при при 0 < х < 1 – отрицательные. Если 0 < а < 1, то функция у = log_a x принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные – при х > 1.

Это следует из того, что функция у = log_a x принимает значение, равное нулю, при х = 1 и является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 0, и убывающей, если 0 < а < 1.

Отметим, что график любой логарифмической функции у = log_a x проходит через точку (1; 0).

При решении уравнений часто используется теорема:

Если log_a х₁ = log_a х₂, где а > 0, а ≠ 1, х₁ > 0, х₂ >0, то х₁ = х₂.

Предположим, что х₁ ≠ х₂, например х₂ > х₁. Если а > 0, то из неравенства х₂ > х₁ следует, что log_a х₂ > log_a х₁; если 0 < а < 1, то из неравенства х₂ > х₁ следует, что log_a х₂ < log_a х₁. В обоих случаях получилось противоречие с условием log_a х₁ = log_a х₂. Следовательно, х₁ = х₂.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Решить уравнение log₅ (3х– 2) = log₅ 7.

Решение. Используя доказанную теорему, получаем 3х– 2 = 7, откуда 3х = 9, х = 3.

Ответ. х = 3.

Задача 2. Решить неравенство log2 х < 3.

Решение. Пользуясь тем, что 3 = log₂ 2³ = log₂ 8, запишем данное неравенство так: log₂ х < log₂ 8. Так как функция у = log₂ х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log₂ х < log₂ 8 выполняется при х > 0 и х < 8.

Ответ. 0 < х < 8.

Задача 3. Решить неравенство log1/3 х ≤ -2.

Решение. Запишем данное неравенство таким образом: log_1/3 х ≤ log_1/3 9. Функция у = log_1/3 х определена при х ≥ 0 и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9.

Ответ. х ≥ 9.