Временное и частотное представление сигналов

Возможны два представления сигнала:

временное, при котором f(t) выражается как функция времени, и

частотное, при котором определён спектр (т.е. амплитуды различных частотных составляющих). Преобразование Фурье служит инструментом, позволяющим представлять данный сигнал экспоненциальными составляющими. Функция F(ω) есть прямое преобразование Фурье сигнала f(t). F(ω) представляет сигнал f(t) в частотной области. Временное представление определяет некоторый сигнал в каждый момент времени, тогда как частотное представление характеризует относительные амплитуды частотных составляющих сигнала. Любое из этих представлений полностью определяет сигнал.

Но функция F(ω) в общем случае комплексная:

Для ее представления необходимо 2 графика: амплитудного |F(ω)| и фазового θ(ω) спектров. Во многих случаях F(ω) – либо действительна, либо мнимая функция, и поэтому для ее представления достаточно одного графика. Если f(t) – действительная функция, то согласно формуле:

- обратное преобразование

- прямое преобразование

Таким образом, если:

то

Из этих равенств, очевидно, что амплитудный спектр |F(ω)| является четной функцией ω, а фазовый спектр θ(ω) нечетной.

2. Преобразование Фурье: периодических и непериодических функций.

Преобразование Фурье - сигнал любой формы м.б. представлен в виде набора более простых.

Обратное и прямое преобразование Фурье

1.Тригонометрическая форма записи

2. Экспоненциальная (комплексная) форма записи

1)Должна соблюдаться ортогональность

2) Любой по длительности сигнал имеет бесконечный спектр

Рассмотрим для примера преобразование Фурье для прямоугольного меандра

Меандр

Отсчетная функция Четные гармоники (2π/T) – нулевые, где период 2T