Сложение колебаний одного направления разных частот

Рассмотрим для простоты случай равных нулю начальных фаз складываемых колебаний и равных амплитуд А ₀:

Результирующее движение

(5.7)

где Описываемое этим законом движение уже не является гармоническим колебанием, как в случае равных частот. Оно представляет собой произведение двух гармонических колебаний, с частотами и

Практический интерес представляет случай, когда частоты складываемых колебаний близки друг к другу. В этом случае примерно равна частотам складываемых колебаний, а первый множитель в (5.7) изменяется гораздо медленнее, чем второй. За то время, за которое множитель совершит несколько полных колебаний, первый множитель почти не изменится. Это позволяет рассматривать результирующее движение (5.7) как почти гармоническое колебание со средней частотой и медленно меняющейся амплитудой

(5.8)

График таких колебаний показан на рис. 5.11. Здесь же показана и зависимость амплитуды колебаний от времени. На графике x (t) медленно меняющаяся огибающая изображает первый сомножитель в (5.7), а быстро осциллирующий – второй сомножитель. Как видно из графика A (t), амплитуда то медленно возрастает до значения 2 А ₀, то медленно спадает до нуля – колебания то усиливаются, то ослабевают. Явление, возникающее при сложении гармонических колебаний близких частот и заключающееся в периодическом во времени усилении и ослаблении колебаний называется биениями. Период изменения амплитуды называется периодом биений Т_б. Из (5.8) следует, что амплитуда обращается в нуль при т.е. в моменты времени Следовательно, период биений = Как видим, связь между Т_б и такая же, как и связь между периодом и частотой, поэтому частоту называют частотой биений.

Наглядно биения можно представить так. При сложении двух близких гармонических колебаний, совершающихся в одном направлении, они дадут максимальное отклонение x в тот момент времени, когда оба колебания находятся в фазе. Далее с течением времени разность фаз колебаний будет изменяться и в какой-то момент времени она составит В этот момент колебания окажутся в противофазе, амплитуда результирующего колебания достигнет минимума. Затем колебания опять будут нарастать и когда разность фаз достигнет значения 2 π, они снова окажутся в фазе, амплитуда результирующего колебания опять станет максимальной и т.д.

Почти гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой называют также амплитудно-модулированными колебаниями. В качестве другого примера амплитудно-модулированных колебаний может служить колебание с частотой и амплитудой, изменяющейся по гармоническому закону A (t) =

= с частотой (), т.е. колебания вида

(5.9)

Величину называют несущей частотой, - глубиной, а - частотой модуляции. Величина А ₀ представляет собой среднее по времени значение амплитуды: