Решение линеаризованных уравнений с оценкой точности

Одним из основных преимуществ аналитической фототриангуляции является возможность при избыточных измерениях строгого решения задачи по способу наименьших квадратов, и фотограмметристы внесли значительный вклад в общую теорию способа наименьших квадратов, что описано Розенфельдом [37].

Решение по способу наименьших квадратов начинается с составления линеаризованных условных уравнений (5.21), которые можно рассматривать как матричные уравнения, содержащие все линеаризованные условия, которые описывают фотограмметрическую задачу.

Весовая матрица условных уравнений будет:

(W) = (AσA^T)^-1, (5.22)

где σ — ковариационная матрица наблюденных величин.

Если включаются только координаты точек аэрофотоснимков, то они обычно принимаются независимыми и с одинаковым весом. Тогда матрица σ будет диагональной с равными диагональными элементами. Халлерт [22] предложил определять веса точек на аэрофотоснимках как функцию их расстояния от главной точки.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(B^TWB)(Δ) + (B^TW)(F₀) = 0 (5.23)

Число линейных уравнений в этой группе равно числу поправок параметров в векторе (Δ). Эту систему нормальных уравнений компактно можно записать в виде:

(N) (Δ) = (L), (5.24)

Решая, получим:

(Δ) = (N)^-1(L). (5.25)

Найденные поправки (Δ) прибавляют к первым приближенным значениям параметров, которые использовались при составлении линеаризованных условных уравнений. Поскольку коэффициенты в матрицах [А] и [В] вычислялись с приближенными величинами, новые значения параметров могут ещё не удовлетворить условным уравнениям. Поэтому решение повторяется до тёх пор, пока поправки будут незначительными. Число приближений зависит от того насколько хорошо были выбраны начальные приближённые значения, от надежности геометрических связёй в сети фототриангуляции и от общего числа параметров задачи.

Уравнение (5.25) предполагает, что матрица коэффициентов нормальных уравнений должна быть обращена. Однако если требуется найти только (Δ), то нормальные уравнения вместо обращения могут быть просто решены, что значительно проще, чем обращение матрицы. Преимущество обращения матрицы в том, что оно позволяет оценить точность фототриангуляции. Квадрат поправки каждой наблюдаемой величины равен:

s_j² = (B_i Δ + F_0j)^T(W_j)(B_j Δ + F_0j), (5.26)

тогда квадрат ошибки единицы веса

s₀² =Ss_j²/(n-u), (5.27)

где n — число условных уравнений, а u — общее число параметров.

Наконец, ковариационная матрица параметров будет

s_P = s₀²(N)^-1. (5.28)

Важно исследовать не только изменения параметров (диагональные члены матрицы), но также ковариации (недиагональные члены) потому, что, как известно, влияние соответствия в параметрах ориентирования должно частично компенсировать ошибки в координатах точек местности.

В аналитической фотограмметрии измеряемыми величинами являются координаты точек аэрофотоснимков, а решение выполняется по способу наименьших квадратов под условием минимума суммы квадратов поправок в измеренные координаты точек аэрофотоснимков. Координаты наземных опорных точек также можно рассматривать как наблюдаемые величины, хотя в большинстве методов они считаются безошибочными. Однако ввиду получаемой теперь высокой точности аналитической фототриангуляции ошибками координат опорных точек нельзя больше пренебрегать.

Первые методы аналитической фотограмметрии копировали процессы, выполняемые на аналоговых стереофотограмметрических приборах. Поэтому в некоторых из формул поперечные параллаксы рассматривались как наблюдаемые величины, сумма квадратов которых должна быть минимальной. С теоретической точки зрения способа наименьших квадратов это не совсем правильно, но практически обычно получаются приемлемые результаты. Более правильно и наиболее просто за наблюдаемые величины принимать координаты точек аэроснимков.

Если некоторые из известных параметров, например элементы внешнего ориентирования аэроснимков X_S, Y_S, Z_S, a, w, c или координаты наземных опорных точек, сами имеют ошибки, то их можно включать в решения в качестве переменных величин. Такой метод видоизмененных нормальных уравнений дан Брауном и усовершенствован Кейзом и Розенфельдом [37].

8. Требования к опорным точкам

Требования к числу и размещению опорных точек опреде­ляются техническими требованиями к точности в плане и по высоте, зависят от применяемой техники и технологии выполнения аэрофотосъёмки, способа построе­ния про­странственных сетей фототриангуляции, от параметров аэрофотосъемки и от условий местности.

Опорной точкой (опознаком) называют любую контурную точку, опознанную на аэ­ро­снимке и местности, координаты которой опреде­лены по результатам геодезических изме­рений. В качестве таких точек используются углы изгородей, низких строений, перекрестков дорог, промоин, резких изгибов тропинок, канав, отдельные кусты и другие точки, которые можно бесспорно опознать и наколоть на аэроснимке с ошибкой не более 0,1 мм в масштабе создаваемых плана или карты.

Процесс опознавания опорных точек и определения их координат геодезическими ме­то­дами называется привязкой аэроснимков. При этом опорные точки могут быть определены только в плане, только по высоте или в плане и по высоте. В первом случае привязку на­зы­вают плано­вой, во втором – высотной, а в третьем – планово-высот­ной.

Плановые коорди­наты опорных точек определяют геодезиче­скими методами – прямыми, обратными и комби­нированными засеч­ками или проложением ходов, либо по ре­зультатам GPS-из­ме­ре­ний. Высоты опорных пунктов определяют проложением, в за­виси­мости от требуемой точности, ходов геометрического или триго­номет­рического нивелирования.

Опорные точки располагают в углах рабочей площади снимка, в зоне тройного про­дольного и поперечного пе­рекрытий снимков, не ближе 1 см к их краям. Собственная высота контурной точки, выби­раемой в качестве опорной, не должна приводить к линейному сме­щению, превы­шающему 0,1 мм. На местности эти точки должны быть доступны для геоде­зического опреде­ления.

Опорные точки могут обеспечивать либо каждый снимок, либо не­которое их количе­ство. В первом случае речь идет о сплошной при­вязке, используемой для фотограмметри­че­ской обра­ботки отдельных снимков или стереопар, а во втором – о разреженной. Сеть опор­ных точек, полученных при разреженной привязке, в дальнейшем сгущают путем построения се­тей про­странственной фототриангуляции с тем, чтобы в итоге обеспечить геодезическими данным ка­ждый снимок или каждую сте­реопару.

Так, при создании топо­гра­фических карт плоскорав­нин­ных, рав­нинно-пересе­ченных и всхолмленных рай­онов, в соот­ветствии с требо­­ваниями дейст­вующих инст­рукций, планово-вы­сотные опознаки распо­­ла­гают попе­рек аэросъемочных маршрутов таким образом, чтобы на каж­дом мар­шруте было по одному опознаку каждого ряда (рис. 5.4). Вы­­сот­ные опознаки раз­мещают по такой же схеме, но в два раза гуще, чем пла­ново-высотные. Для обеспечения сводок со смежными объектами по границам обработки пла­но­вые и высотные опо­зна­ки размещают в два раза гуще, чем рекомендовано действующими инструкциями.

Если параметры аэрофотосъем­ки или точ­ность фото­­грам­мет­­риче­ской об­работки отли­ча­ют­ся от рекомендуемых инструкциями, то при составлении проекта выполняется специальный рас­чет плотности опор­­ных точек, исходя из конкретных значений этих парамет­ров, необходимой точности фото­грам­мет­ри­чес­кого сгущения (m_D, m_Z) и следующих соображений.

Действующие инструкции по топографическим съем­кам устанав­ливают, что средняя ошиб­ка в положении четкой кон­турной точки равна 0,5 мм в мас­штабе карты (средняя квадратическая ошибка 0,6 мм). Ожидаемая средняя квадра­тиче­ская ошибка планового сгущения должна быть в 2 раза меньше, т. е. m_D£0,3 мм.

Густоту высотных точек подсчитывают исходя из установленной нормативными до­ку­мен­тами средней ошибки определения высот то­чек по топографической карте, равной 1/3 сечения рельефа. Исходя из этого, легко найти среднюю квадратическую ошибку сгущения m_Z вы­сот и расчетную густоту высотных опорных точек.

В настоящее время часто выполняется геодезическое GPS-определения координат и высот центров фотографирования, которые являются также опорными точками. По­этому опорные точки имеются практически на каждом снимке и каждой стереопаре, что в итоге приводит к тому, что точность фотограмметрического сгущения оказывается со­поставимой с точностью полевых геодезических работ. В этом случае для блочного сгущения обязательна схема привязки «конвертом», то есть для стандартного блока расположение опознаков по углам и в центре его, а для маршрутного сгущения обязательная стабилизация «вращения вокруг центров» привязкой наземных опознаков на концах маршрута. Значительно повышается точность при совместной обработки таких пересекающихся маршрутов. Осложняет полевую привязку лишь высотное обоснование, плотность которого тем больше, чем меньше сечение рельефа требуется для создания топографических карт или планов.

Практически каждое предприятие, выполняющее фо­тограм­мет­ри­ческую обработку мате­риалов аэрофотосъемки, рас­полагает типовыми схемами размещения опорных точек, разрабо­тан­ными применительно к принятой технологии выполнения работ и точности конкретного оборудования, к физико-географическим условиям объекта обработки и т. д.

9. Программы построения и уравнивания

сетей пространственной фототриангуляции

Программы аналитического построения и уравнивания фотограм­метрических сетей, в со­от­ветствии с требованиями действующих нор­мативных документов, должны базироваться на строгих математиче­ских зависимостях (где они существуют), реализовывать всю геометри­че­скую точность исходных аэроснимков или иных изображе­ний и гарантировать решение задачи во всех слу­чаях, где оно теорети­че­ски возможно. Эти программы должны обеспечивать:

· максимальную автоматизацию всех основных про­цессов – внут­рен­него, вза­имного, внеш­него ориентирования, построе­ния сети и т. п. по произволь­ному числу точек;

· использование опорных точек, заданных в различ­ных системах коорди­нат, а также пред­ставление в этих системах результатов обработки данных;

· обработку результатов неравноточных измерений;

· построение одномаршрутных, многомаршрутных сетей различ­ными способами;

· получение возможно более полных протоколов обработки ре­зультатов измерений сним­ков и диагностики ошибок данных;

· использование данных, полученных в результате уравнивания, для дальнейшей обра­ботки снимков с помощью любых обраба­тывающих приборов и систем;

· построение фототриангуляционных сетей любых размеров;

· получение стабильных результатов при построении сетей неза­висимо от мас­штаба сним­ков, физико-географических ус­ловий района и условий аэрофото­съемки.

Точность фотограмметрического сгущения должна определяться только геомет­рией уравни­ваемой сети и погрешностями исходных данных.

Одной из таких программ является широко распространенный комп­лекс ORIMA (ORI­enta­tion MAnagement) фирмы Leica, появив­шийся в конце 90-х гг. и включающий пять взаимодо­полняющих про­граммных продуктов (версий) со следующими функциональ­ными воз­можно­стями:

ORIMA-B – внутреннее, взаимное и внешнее ори­ентирование оди­ночной модели (базовая версия с ограниченными функциональными возможностями);

ORIMA-S – построение одиночной модели на анали­тических фото­граммет­рических прибо­рах (SD2000, SD3000и др.) ее уравнива­ние, и диагностика ошибок на всех этапах обработки;

ORIMA-T – измерение аналоговых снимков, их контроль, уравни­вание маршрутных се­тей, статистическая оценка точности, графиче­ское представление результатов обработки;

ORIMA-TB – уравнивание сетей маршрутной и блочной фототри­ангуляции путем объе­дине­ния отдельных моделей (объем сети не бо­лее 100 снимков);

ORIMA-TE – наиболее полная и мощная версия, включающая уравнивание связок про­екти­рующих лучей неограниченного числа снимков с использованием результаты фото­грамметри­ческих, GPS – измерений и данных инерциального измерителя углов.

Пакет программ снабжен обучающей системой, хорошо докумен­тирован, имеет кон­тек­ст­ную справку по выполняемым функциям, гиб­кие форматы представления данных и хо­рошо проработанный графи­ческий интерфейс. К его особенностям можно отнести:

· исполь­зова­нием конформных и аф­финных преобразований, учет радиальной дисторсии объек­тива;

· введение поправок за влияние кривизны Земли и атмосферной рефракции в про­странст­вен­ные координаты точек моделей;

· использование для построения модели линейно-угловой сис­темы координат с плос­ко­стью XY, параллельной плоскости левого снимка;

· возможность уточнения параметров съемочной камеры мето­дом са­мокалибровки, ко­гда при уравнивании связок про­екти­рующих лучей неизвестными явля­ются не только фо­кусное рас­стояние съемочной камеры и координаты главной точки снимка, но и сум­марные иска­жения изображения в гра­ницах некоторых зон;

· наличие эффективной системы диагностики ошибок с графиче­ским представле­нием резуль­татов на всех этапах урав­нительных вычислений;

· применение специальных приемов улучшения обусловленно­сти систем уравнений, воз­ни­кающих при взаимном и внешнем ориентировании снимков и уравнивании связок;

· эффективное использование GPS-измерений и средств диагно­стики их ошибок.

Эти и другие особенности программы обеспечили ее применение более чем в 60 стра­нах мира, выполняющих построение и урав­нива­ние фотограмметриче­ских сетей.