Основные логические функции

Г Л А В А 5

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УЗЛЫ ЛОГИЧЕСКИХ

И ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

Основные логические функции

В последнее время наибольшее распространение получают электронные устройства, в которых в качестве информационного используются импульсные и цифровые сигналы. Функционирование таких систем происходит, как правило, в двоичной схеме счисления, т. е. операции производятся только с двумя числами "0" и "1". Математическим аппаратом, на основе которого реализуются логические и цифровые устройства, является алгебра логики (Булева алгебра). Предметом рассмотрения алгебры логики являются высказывания, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Истинность высказывания может принимать, подобно цифрам в двоичной системе счисления, только два значения: истинно – "1", ложно – "0".

Простые высказывания, объединенные логическими связями (операциями), образуют сложное высказывание или логическую функцию. Логическую функцию задают тремя способами: содержательно (путем словесного описания), таблично и алгебраически.

Наиболее наглядный табличный способ записи функции. Таблицы, показывающие связь между входными и выходной (или выходными) величиной, называют таблицами истинности. Рассмотрим основные логические операции.

Логическое умножение (конъюнкция), операция "И"

Содержательное представление функции – сложное высказывание истинно только в том случае, когда истинны все простые высказывания. Алгебраическая запись операции логического умножения имеет вид

y = x1 Ù x2 Ù x3... Ùxn

или (5.1.)

y = x1 * x2 * x3... * xn,

где y – функция;

x1... xn – аргументы.

Таблица истинности функции логического умножения для двух переменных приведена на рисунке 5.1а. В таблице истинности приводится значение функции для всех возможных комбинаций значений переменных. Анализируя таблицу истинности, можно заметить, что сигнал на выходе элемента "И" появляется только при наличии "1" на всех входах одновременно, поэтому логический элемент "И" называют схемой совпадения. Условное графическое изображение элемента "И" приведено на рисунке 5.1б.

Х1
Х2
Х3

а

б

а – таблица истинности; б – условное графическое обозначение

Рисунок 5.1 – Функция логического умножения (И)

Логическое сложение (дизъюнкция), операция "ИЛИ"

При логическом сложении сложное высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний. Алгебраическая запись операции логического сложения имеет вид:

y = x1 + x2 + x3... + xn

или (5.2)

y = x1 v х2 v х3... v хn,

где y – функция;

x1...xn – переменные.

Таблица истинности функции логического сложения для двух переменных, условное графическое обозначение приведены на рисунке 5.2. Из анализа таблицы истинности следует, что сигнал на выходе появляется при наличии сигнала хотя бы на одном из входов, поэтому элемент "ИЛИ" называют сборкой.

Х1
Х2
Y

а б

а – таблица истинности; б – условное графическое обозначение

Рисунок 5.2 – Функция логического сложения (ИЛИ)

Логическое отрицание (инверсия), (операция "НЕ")

При логическом отрицании сложное высказывание истинно, если простое ложно, и наоборот. Алгебраическая запись операции логического отрицания имеет вид:

y = , (5.3)

где у – функция;

x – аргумент.

Таблица истинности, условное графическое обозначение функции логического отрицания приведены на рисунке 5.3. Операцию логического отрицания часто называют инверсией, а логический элемент ее реализующий – инвертором.

Х
Y

а

б

а – таблица истинности; б – условное графическое обозначение.

Рисунок 5.3 – Функция логического отрицания (НЕ)

Набор функций «И», «ИЛИ», «НЕ» называют основным логическим базисом. Это означает, что с помощью этих функций можно реализовать любую сколь угодно сложную логическую функцию.

Логическими элементами называются устройства, с помощью которых реализуются логические функции. Логические элементы – это устройства комбинационного типа, т.е. такие устройства, выходные сигналы которых в любой момент времени однозначно определяются сочетанием сигналов на входах и не зависят от предыдущего состояния схемы. Логические элементы дают возможность представлять логические переменные с помощью электрических сигналов (напряжения или тока).

В интегральной схемотехнике наиболее часто в качестве базовых используют элементы "2И-НЕ" (Штрих- Шеффера) и элемент "2ИЛИ-НЕ" (Стрелка Пирса). На рисунках 5.4 и 5.5 приведены условные графические обозначения функций "2И-НЕ" и "2ИЛИ-НЕ" и реализация основного логического базиса с их помощью.

а б в г

а – функция "2И-НЕ"; б – функция "2ИЛИ"; в – функция "2И";

г – функция – "НЕ"

Рисунок. 5.4 – Реализация основного логического базиса с помощью

элемента "2И-НЕ"

а б в г

а – функция "2ИЛИ-НЕ"; б – функция "2И"; в – функция "2ИЛИ";
г – функция – "НЕ"

Рисунок 5.5 – Реализация основного логического базиса с помощью

элемента "2ИЛИ-НЕ"

Кроме этих функций довольно широко используется операция неравнозначность (исключающее "ИЛИ").

Словесное описание функции – сложное высказывание истинно только в том случае, если простые высказывания противоположны. Алгебраическая запись этой функции имеет вид:

y = x1 Å x2. (5.4)

Условное графическое обозначение элемента, таблица истинности функции и ее реализация с помощью основного логического базиса приведены на рисунке 5.6.

X1	X2	Y

а б в

а – таблица истинности; б – условное графическое обозначение; в – реализация функции с помощью основного логического базиса

Рисунок 5.6 – Логическая функция "исключающее ИЛИ"