Трехслойные разностные схемы для уравнения колебаний

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует и непрерывно зависит от начальных и граничных данных.

Введем сетку , где

, .

Минимальный шаблон, на котором можно аппроксимировать уравнение (3.1), это пятиточечный шаблон "крест". Таким образом, здесь требуется использовать три временных слоя: n -1, n, n +1. Такие схемы называются трехслойными.

Простейшей разностной аппроксимацией уравнения (3.1) и граничных условий (3.2) является следующая система уравнений:

(3.4)

(3.5)

Разностное уравнение (3.4) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по t и по h. Решение выражается явным образом через значения на предыдущих слоях.

(3.6)

Для начала счета по формулам (3.6) должны быть заданы значения , , . Из первого начального условия (3.3) сразу получаем

(3.7)

Поскольку уравнение (3.4) аппроксимирует основное уравнение (3.1) со вторым порядком по, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Чтобы добиться этого, воспользуемся разложением

,

учтем, что в силу дифференциального уравнения (3.1) выполняется равенство

Таким образом, и, следовательно, разностное уравнение

(3.8)

аппроксимирует второе из начальных условий (3.3) со вторым порядком по t и по h.

Совокупность уравнений (3.4), (3.5), (3.7), (3.8) составляет разностную схему, аппроксимирующую задачу (3.1)-(3.3). Данная схема устойчива, если

(3.9)