Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида ⁰/₀ и ^∞ /_∞ —, который основан на применении производных.

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ⁰/₀).

Пусть функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ и обращаются в нуль в этой точке: ƒ(х₀)=φ(х₀)=0. Пусть φ'(х)¹ 0 в окрестности точки х₀. Если существует предел

▲Применим к функциям ƒ(х) и φ(х) теорему Коши для отрезка [х₀;х], лежащего в окрестности точки x₀. Тогда

где с лежит между х₀ и х (рис. 144). Учитывая, что ƒ(х₀)=φ(х₀)=0, получаем

При х→х₀, величина с также стремится к х₀; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:

Так как

Поэтому

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания:

1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции ƒ(х) и φ(х) не определены при х=х₀, но

Достаточно положить

2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х→∞. Действительно, положив х=1/z, получим

3. Если производные ƒ'(х) и φ'(х) удовлетворяют тем же условиям, что и функции ƒ(х) и φ(х), теорему 25.4 можно применить еще раз:

и т. д.

<< Пример 25.2

Найти

Решение:

<< Пример 25.3

Найти

Решение:

Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида 0/0. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида ∞/∞.

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ∞/∞).

Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, может быть, точки х₀). в этой окрестности

φ'(х)¹ 0. Если существует предел

<< Пример 25.4

Найти

Решение:

2-й способ: