Вопрос 16. Определение предела функции и основные теоремы

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x _n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x a, если для всякой последовательности {x _n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x _n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 <  x-a < , значения функции f(x) будут лежать в -окрестности числа А, т.е.  f(x)-A < .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке - “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x a имеет предел, равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x _n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, ¥/ ¥, 0 × ¥, ¥- ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e»2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.