Алгебраическая, геометрическая и показательные формы комплексного числа

Тригонометрическая (по лекция почему-то геометрическая) форма

Абсцисса а и ордината b комплексного числа а +bi выражаются через модуль r и аргумент φ (фиг. 5) формулами

а = r cos φ; b = r sin φ; φ=arctg b/a; r= .
Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r (cos φ + isin φ), где r≥0.
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 1. Представить комплексное число – 3 – 3i в нормальной тригонометрической форме. Имеем:

Следовательно,
– 3 – 3i = 3 (cos (- 135˚) + isin (—135˚))

Алгебраическая форма комплексных чисел

где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

2. Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции, где P (x) и Q (x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,... должно быть равно степени знаменателя Q(x).
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,.... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Вычислить интегралы от простейших дробей.