Теоремы непрерывности

Теорема 1.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a.

Теорема 2.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.

Теорема 3.
Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функций f (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.

Теорема 4.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что .

Теорема 5.
Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [ a, b ], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что

для всех x в интервале [ a, b ] (смотрите рисунок 1).

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [ a, b ]. Тогда, если c − некоторое число, большее f (a) и меньшее f (b), то существует число x ₀, такое, что

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.