Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени из вещественного числа. Число . Вывод числа e

Определение. Пусть — произвольная числовая последовательность. Построим новую последовательность по правилу

Последовательность называется последовательностью частичных сумм последовательности .

Определение. Пусть — последовательность, — последовательность частичных сумм последовательности . Предел последовательности называется суммой всех членов последовательности .

Найдем сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. геометрической прогрессии со знаменателем, по модулю меньшим .

Пусть — геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем . . Действительно, из неравенства Бернулли

имеем

Поскольку , то представимо в виде . Тогда

Применим теорему о сжатой последовательности

Имеем .

Пусть — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда

Если через обозначить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то

Вспомним аксиому непрерывности множества вещественных чисел.

Любое ограниченное множество имеет точную верхнюю границу (т.е. существует наименьшая из всех верхних границ).

Из определения точной верхней границы множества следует характеристическое свойство точной верхней границы:

Число называется точной верхней границей множества , если

1) — верхняя граница ;

2) .

Обозначение .

Замечание. Аналогично определяется точная нижняя граница множества — .

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что

Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства

откуда и следует, что .