Поверхности вращения

Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
, но т.к. если взять точку M₁ с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Пример 1. Найти уравнение поверхности вращения окружности около оси Ох.

Решение. Согласно уравнению (62), следует в уравнении окружности заменить y на . Получим уравнение поверхности вращения т.е. получим уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом, равным R (рис. 25).

Пример 2. Найти уравнение поверхности вращения гиперболы вокруг действительной оси.

Решение. Вращение происходит вокруг оси Ох, следовательно, уравнение поверхности вращения будет . Такая поверхность носит название двуполостного гиперболоида вращения (рис. 26).

Пример 3. Найти уравнение поверхности вращения гиперболы вокруг мнимой оси.

Решение. Вращение происходит вокруг оси Оу, следовательно, уравнение поверхности вращения будет Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 27).

Пример 4. Найти уравнение поверхности вращения гиперболы вокруг оси Oz.

Решение. Поверхность , получаемая в результате вращения, называется параболоидом вращения (рис. 28).

Пример 5. Найти уравнение поверхности вращения эллипса вокруг оси Oz.

Решение. Поверхность получаемая в результате вращения, называется эллипсоидом вращения (рис. 29).

Пример 6. Найти уравнение поверхности, полученной вращением прямой z = y вокруг оси Oz.

Решение. Поверхность вращения имеет уравнение или и носит название прямого кругового конуса (рис. 30).

33) Эллипсоид. Однополосный и Двуполостный гиперболоид

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где , , -- положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения (13.3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: , , .

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Доказывается это так же, как в предложении 12.1.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью . Так как любая точка плоскости имеет нулевую третью координату, , то координаты точек эллипсоида на плоскости удовлетворяют уравнению

По теореме 12.2 получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями и (рис. 13.3).

Рис.13.3. Сечение плоскостью

Аналогично, сечение в плоскости дает эллипс

с полуосями и , а сечение плоскостью - эллипс

с полуосями и (рис. 13.4)

Рис.13.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Однополостный гиперболоид

Поверхность, определяемая уравнением

В сечении плоскостью х = 0 имеем гиперболу

в сечении z = h — эллипсы

Строим поверхность (рис.5.5).

Рис. 5.5

Двухполостный гиперболоид

Поверхность, определяемая уравнением

В сечении плоскостью x = 0 — гипербола

в сечении — эллипсы

Получаем поверхность (рис.5.6).

Рис. 5.6

34) Множества. Действительные числа

Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х²+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,......,х,у,...

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х X; запись хХ или х X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АВ («А включено в В») или ВА («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АВ и ВА. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

Α ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;

Α ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

 — означает «для любого», «для всякого»;

 — «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

→ — «соответствие».

Например:
1) запись  x А:α означает: «для всякого элемента х А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.