Свойства векторного произведения. 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хb и a, b, bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb) = (а) х b = а х (b).

Пусть >0. Вектор (ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb) и (а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому (a хb)= ахb. Аналогично доказывается при <0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.