Уравнения касательной и нормали к плоской кривой

Пусть дана функция y=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М₀(х ₀; у ₀). Угловой коэффициент касательной в точке М₀ равен значению производной функции f(x) в точке х ₀, то есть k=tgj=f′(x ₀ ).

Уравнение касательной, проходящей

через точку М₀(х ₀; у ₀), имеет вид:

у-у ₀= f′(x ₀ )(х-х ₀ ).

Прямая, перпендикулярная к

касательной и проходящая через

точку М₀, называется нормалью.

Уравнение нормали в точке М₀(х ₀; у ₀):

у-у ₀= (х-х ₀ ).

_________________

4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:

а) у=х ²-4 х +3, х ₀=-1; б) у = х ² е ^-х, х ₀=1;

в) у=-х ²+6 х -5

в точках пересечения с осью ОY.

4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у =2 х -1?

4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х ₀=-1.

4.4.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)= 2 x ²+4 x +3. Найти сумму абсцисс точек касания.

4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х ²+ у ²+4 х -4 у +3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.

4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х ²- у ²=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.

_____________

4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:

а) у=х ³, х ₀= -2; б) у =2 х-х ² в точках пересечения кривой с осью ОХ;

в) у =2 х ²-5, у=х ²-3 х +5 в точках пересечения этих кривых.

4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у =2 х -5?

4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х ^2/3+ у ^2/3= а ^2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.