Формули зведення

Формули зведення допомагають виразити значення тригонометричних функцій кутів вигляду через функції кута Відповідні формули легко запам’ятати, користуючись такими правилами:
1) якщо аргумент функції має вигляд або , назва функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), а якщо аргумент має вигляд , , назва функції не змінюється;
2) перед утвореною функцією ставиться той знак, який має початкова функція, якщо — кут у І чверті.
Використовуючи ці формули, а також періодичність тригонометричних функцій (див. нижче) можна значення тригонометричної функції довільного кута звести до значення функції гострого кута.

7) Тригонометричні функції суми та різниці двох аргументів. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел.

Синус суми двох кутів (чисел) дорівнює добутку синуса першого кута (числа) на косинус другого плюс добуток косинуса першого на синус другого.

Синус різниці двох кутів (чисел) дорівнює добутку синуса першого кута (числа) на косинус другого мінус добуток косинуса першого на синус другого.

Косинус суми двох кутів(чисел) дорівнює добутку косинуса першого кута (числа) на косинус другого мінус добуток синуса першого на синус другого.

Косинус різниці двох кутів(чисел) дорівнює добутку косинуса першого кута (числа) на косинус другого плюс добуток синуса першого на синус другого.

8) Функция Y=sin x, ее свойства и график

График этой функции можно построить таким же способом, как и график функции y = cosx, начиная с построения, например, на отрезке [0; π ].

Однако проще применить формулу sinx = cos (x − π 2), которая показывает, что график функции y = sinx можно получить сдвигом графика функции y = cosx вдоль оси абсцисс вправо на π 2

График функции y = sinx

Кривая, являющаяся графиком функции y = sinx, называется синусоидой.

Свойства функции y = sinx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел.

2. Множество значений - отрезок [−1;1]

3. Функция y = sinx периодическая с периодом T =2 π

4. Функция y = sinx - нечётная.

5. Функция y = sinx принимает:
- значение, равное 0, при x = πn, n ∈Z
- наибольшее значение, равное 1, при x = π 2+2 πn, n ∈Z
- наименьшее значение, равное −1, при x =− π 2+2 πn, n ∈Z
- положительные значения на интервале (0; π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 πn, n ∈Z

- отрицательные значения на интервале (π;2 π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 πn, n ∈Z

6. Функция y = sinx

- возрастает на отрезке

[− π 2; π 2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πn, n ∈Z
- убывает на отрезке

[ π 2;3 π 2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πn, n ∈Z

9) Функция Y=cos x, ее свойства и график.

Функция y = cosx определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [−1;1]

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y =−1 и y =1

Так как функция y = cosx периодическая с периодом 2 π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2 π, например на отрезке − π ≤ x ≤ π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2 πn, n ∈Z, график будет таким же.

Функция y = cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy.

Для построения графика на отрезке − π ≤ x ≤ π достаточно построить его для 0≤ x ≤ π, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

Найдём несколько точек, принадлежащих графику на этом отрезке 0≤ x ≤ π cos0 = 1; cosπ 6=3√2; cosπ 4=2√2; cosπ 3=12; cosπ 2=0; cosπ =−1

Итак, график функции y = cosx построен на всей числовой прямой.

Свойства функции y = cosx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел

2. Множество значений - отрезок [−1;1]

3. Функция y = cosx периодическая с периодом 2 π

4. Функция y = cosx - чётная

5. Функция y = cosx принимает:

- значение, равное 0, при x = π 2+ πn, n ∈Z;

- наибольшее значение, равное 1, при x =2 πn, n ∈Z

- наименьшее значение, равное −1, при x = π +2 πn, n ∈Z

- положительные значения на интервале (− π 2; π 2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 πn, n ∈Z

- отрицательные значения на интервале (π 2;3 π 2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 πn, n ∈Z

6. Функция y = cosx

- возрастает на отрезке [ π;2 π ] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πn, n ∈Z

- убывает на отрезке [0; π ] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πn, n ∈Z

10) Функция Y=tg x, ее свойства и график

Выберем для построения контрольные точки, через которые проведём плавную кривую на координатной плоскости.

tg0 =0 tgπ 6=3√3 tgπ 4=1 tgπ 3=3√

Затем, отобразив её симметрично относительно начала координат, получим график на интервале (− π 2; π 2)

Используя периодичность, строим график функции y = tgx на всей области определения.

График функции y = tgx называют тангенсоидой.

Главной ветвью графика функции y = tgx обычно называют ветвь, заключённую в полосе (− π 2; π 2)

Свойства функции y = tgx

1. Область определения - множество всех действительных чисел x ≠ π 2+ πn, n ∈Z

2. Множество значений - множество R всех действительных чисел

3. Функция y = tgx периодическая с периодом π

4. Функция y = tgx нечётная

5. Функция y = tgx принимает:

- значение 0, при x = πn, n ∈Z;

- положительные значения на интервалах (πn; π 2+ πn), n ∈Z;

- отрицательные значения на интервалах (− π 2+ πn; πn), n ∈Z.

6. Функция y = tgx возрастает на интервалах (− π 2+ πn; π 2+ πn), n ∈Z.

11) Функция Y=ctg x, ее свойства и график.

Функция y = ctgx определена при x ≠ πn, n ∈Z, является нечётной и периодической с периодом π.

Рассуждая аналогично как при построении графика функции y = tgx, можно построить график функции y = ctgx.

График функции y = ctgx, как и график функции y = tgx, называют тангенсоидой.

Главной ветвью графика функции y = ctgx обычно называют ветвь, заключённую в полосе от x =0 до x = π.

Свойства функции y = ctgx

1. Область определения - множество всех действительных чисел x ≠ πn, n ∈Z

2. Множество значений - множество R всех действительных чисел

3. Функция y = ctgx периодическая с периодом π

4. Функция y = ctgx нечётная

5. Функция y = ctgx принимает:

- значение 0, при x = π 2+ πn, n ∈Z;

- положительные значения на интервалах (πn; π 2+ πn), n ∈Z;

- отрицательные значения на интервалах (− π 2+ πn; πn), n ∈Z.

6. Функция y = ctgx убывает на интервалах (πn; π + πn), n ∈Z.

12) Обратные тригонометрические функции. Функция y= arcsin x ее свойства и график.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

• Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .
• Область значений функции y = arcsin(x): .
• Функция арксинус - нечетная, так как .
• Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
• Асимптот нет.

13) Обратные тригонометрические функции. Функция y= arccos x ее свойства и график.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

• Область определения функции арккосинус: .
• Область значений функции y = arccos(x): .
• Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба .
• Асимптот нет.

14) Обратные тригонометрические функции. Функция y= arctg x ее свойства и график.

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

• Область определения функции y = arctg(x): .
• Область значений функции арктангенс: .
• Функция арктангенс - нечетная, так как .
• Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
• Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
• Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

15) Обратные тригонометрические функции. Функция y= arcctg x ее свойства и график.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).