Поверхности 2-го порядка

Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

К числу поверхностей 2-го порядка относятся: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус, цилиндры.

Приведем канонические ур-я этих поверхностей:

эллипсоид:

Если т. М(x,y,z) эллипсоиду, то ему также будут точки: (-x,-y,-z), (-x,y,z,),(x,-y,z),(x,y,-z),(-x,-y,z)…,а это значит, что т. О(0;0;0) явл. центом симметрии. Пл-ти ХОУ,ХОZ,YOZ явл. пл-ми симметрии и координатные оси явл. осями симметрии. Эллипсоид- поверхность огранниченная.

однополостный гиперболоид: . т.О(0;0;0)- т. симметрии; координатные пл-ти х=0,у=0,z=0 – пл-ти симметрии, оси x,y,z – оси симметрии. Сечение гиперболоида х=0 пл-тью есть гипербола: ; у=0: . Если рассечь гиперболоид z=h, то получим: . Из сказанного выше получаем, что однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность и имеет вид:

двуполостный гиперболоид: . т. О(0;0;0)- центр симметрии; координатные пл-ти явл. пл-ми симметрии; координатные оси- осями симметрии. Если рассекать эту поверхность пл-ми z=h, , то при гиперболоид не будет иметь точек с секущими пл-ми. При двуполостный гиперболоид будет иметь 2 общие точки (0;0;с) и (0;0;-с). Если , то в сечении получим эллипс: . Если мы рассечем поверхность пл-тью х=0, то получим гиперболу:

; если у=0, то гиперболу: . Из сказанного выше двуполостный гиперболоид неограниченная поверхность и имеет вид:

эллиптический параболоид: х,у: z 0. Значит, что данная поверхность лежит в полупространстве z 0. Счение данной поверхности пл.-ми z=h>0 представляет собой эллипс: . А сечение поверхности координатными плоскостями х=0 и у=0 будут явл. параболами. Эти пл-ти явл. пл-ми симметрии,

а z- осью симметрии. Данная поверхность неограниченная и имеет вид:

гиперболический параболоид: . Сечение поверхности пл-тью у=0 или х=0 явл. параболой;

а сечение параболоида пл-ми z=h, , представляет собой гиперболы: ^. Ось z- ось симметрии, а пл-ти х=0, у=0 – пл-ти симметрии. Поверхность неограниченная.

конус: . т. О(0;0;0)- центр симметрии, оси и пл-ти – оси и пл-ти симметрии. Сечение конуса пл-ми х=0 (у=0) представляет собой пару пересекающихся прямых, а сечение конуса пл-тью z=h представляет собой эллипс: . Имеет следующий вид:

цилиндры: а) эллиптический цилиндр

б) гиперболический цилиндр

в) параболический цилиндр у²=2рх