Многочлены над полями Q,R,С. Основная TR алгебры

Мн-н называется не приводимым над полем Р, если не может быть представлен в виде произведения двух других мн-нов с коэф-ми из поля Р, степени которых меньше степени данного мн-на.

Мн-н нулевой степени (const) не причисляется ни к приводимым, ни к не приводимым.

Над полем С не приводимы только мн-ны первой степени. Всякий мн-н м/б разложен на лин-ые множители, т.е. всякий мн-н в виде: a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…

Над полем R не приводимы только мн-ны 1-ой степени и мн-ны 2-ой степени, не имеющие действит.корней.

Над полем Q существуют не приводимые мн-ны различных степеней.

Пример: xⁿ+2, nєN.

Непроводимость мн-на над Q опр-ся по критерию Эйзенштейна: Если для мн-на n>0 с целыми коэф-ми существует простое число p: старший коэф-т , все остальные коэф-ты , а свободный член , i=1,n. То этот мн-н – не приводим над полем Q.

Пример: 1) x⁴+1 – над Q. 2) x⁴+1= - над R. 3) - над С.

Если степень мн-на > 0 => не разрешимые в радикалах.

Нахождение рацион. Корней мн-на (TR-мы справедливы для мн-нов с целыми коэф-ми):

1)TR1: Если несократимая дробь вида явл-ся корнем мн-на .

2) TR2: Если несократимая дробь вида явл-ся корнем мн-на

3)Следствие из TR2: .

TR1(Основная TR-ма алгебры): Всякий мн-н, степени n>=1 с комплексными коэф-ми, имеет хотя бы 1 корень, в общем случае – комплексный.

TR2: Всякий мн-н, степени n>=1 с комплексными коэф-ми, имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

TR3:Всякий мн-н f(x) с действительными коэф-ми, имеет комплексный корень а, то и число также явл-ся его корнем, где кратность а и совпадают.

TR4:Всякий мн-н f(x) с действительными коэф-ми!-ым образом можна представить в виде произведения нескольких множителей вида (x-a), соответ-щих его действ-ым корням, и квадрат-ых 3-членов , соотв-щих его компл-ым корням. При действ-ых значениях а переменной х все указанные множители будут действительными.