II. Регрессионные модели в электроэнергетике

В электроэнергетике экспериментальные исследования получили большое распространение как на этапе проектирования, так и при текущей эксплуатации электрических сетей. При математической обработке массивов экспериментальной информации возникает необходимость в подборе эмпирических формул, устанавливающих связь одного измеренного параметра с другим.

Задача определения точного вида выявленной взаимозависимости параметров решается с помощью регрессионного анализа.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения зависимости, в которой изменение одного параметра обусловлено влиянием другого параметра , т.е. необходимо определить функциональную зависимость . Количественная оценка данной зависимости осуществляется с помощью построения регрессионной функции – уравнения регрессии.

В общем случае уравнение регрессии зависимого параметра от независимого параметра можно записать в виде полинома степени

.

В простейшем случае между двумя коррелированными параметрами существует линейная зависимость

, (3.1)

которое является линейным уравнением регрессии.

В выражение (3.1) величина называется свободным членом уравнения регрессии, а величина - коэффициентом уравнения регрессии.

Предположим, что в результате измерений сформированы массивы экспериментальной информации по параметрам и , которые определяются зависимостью , а график этой зависимости представлен на рис.3.3.

Известно, что с помощью интерполирования через любые точек всегда можно провести кривую, выраженную полиномом степени , так чтобы она в точности прошла через каждую из точек (рис.3.3., непрерывная кривая). Однако вид такой кривой крайне сложен для ее математического описания. Возникает задача сглаживания экспериментальной зависимости. Экспериментальные данные желательно обработать так, чтобы по возможности достаточно точно отразить общую тенденцию зависимости от , но вместе с тем «сгладить» нехарактерные

случайные отклонения (рис.3.3., пунктирная кривая), вызванные, в том числе, и неизбежными погрешностями измерений. Одним из эффективных методов расчетного сглаживания является метод наименьших квадратов (МНК).

Формулировка МНК

Пусть имеются результаты независимых измерений, оформленные в виде статистической таблицы.

Пусть выбрана зависимость вида , содержащая ряд числовых коэффициентов , , …, , …, . Требуется так выбрать эти коэффициент, чтобы кривая в определенном смысле наилучшим образом изображала зависимость, полученную по данным измерениям.

Согласно этому методу требование наилучшего согласования кривой вводится для того, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных измерений от сглаживающей кривой обращалась в минимум.

Запишем как функцию не только параметра , но и коэффициентов , , …, , …, :

.

По МНК коэффициенты надо выбрать так, чтобы выполнялось условие

. (3.2)

Для того чтобы выполнить это условие, необходимо продифференцировать выражение (3.2) по коэффициентам , , …, , …, и приравнять полученные производные к нулю:

где - значение частной производной функции по коэффициенту в точке .

Для решения этой системы необходимо задаться конкретным видом зависимости . Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда функциональная зависимость имеет вид (3.1).

Определение коэффициентов линейной функции с помощью МНК

Пусть в опыте зарегистрирована совокупность значений , , . Требуется определить по МНК коэффициенты , линейного уравнения регрессии (3.1), отображающего данную экспериментальную зависимость.

Найдем частные производные выражения (3.1) по коэффициентам и :

, .

Тогда, используя МНК, можно записать

или

(3.3)

Раскроем скобки в системе (3.3) и, произведя суммирование, получим

(3.4)

Из системы (3.4) определяем коэффициенты линейного уравнения регрессии (3.1)

(3.5)

Определение коэффициентов и из системы (3.5) является трудоемкой задачей при большом количестве экспериментальных данных. Расчеты значительно упрощаются, если использовать коэффициент корреляции . Пусть значения экспериментальных измерений являются дискретными случайными величинами с равновероятностными элементарными исходами. Тогда можно записать

, , (3.6)

, , (3.7)

, , (3.8)

. (3.9)

В выражении (3.7) для дискретной величины раскроем скобки и проведем суммирование, т.е.

Учитывая (3.6) и (3.8), получим

или

. (3.10)

Преобразуем выражение (3.9), раскрыв скобки и проведя суммирование

Учитывая (3.6), запишем

или

. (3.11)

Учитывая (3.6), (3.10) и (3.11), запишем систему для определения коэффициентов линейного уравнения регрессии следующим образом

(3.12)

Из (3.12) видно, что коэффициент имеет размерность равную отношению размерностей экспериментальных данных к , а коэффициент - размерность экспериментальных данных

Таким образом, линейное уравнение регрессии (3.1) с учетом коэффициентов (3.12) примет вид

. (3.13)

Следует отметить, что знак при коэффициенте корреляции показывает характер тенденции корреляционной связи и является одним из критериев правильности выполненных расчетов:

- знак «+» означает, что изменение исследуемых параметров и имеет одинаковую тенденцию (корреляционная связь положительная);

- знак «-» означает, что изменение исследуемых параметров и имеет разную тенденцию (корреляционная связь отрицательная);

- значение означает, что корреляционная связь между исследуемыми параметрами и отсутствует.

Для статистического определения коэффициентов линейного уравнения регрессии между двумя случайными величинами и необходимо иметь данные их измерений. Пусть наблюдались следующие пары одновременных измерений величин и : , , …, , …, , тогда для получения зависимости в виде линейного уравнения регрессии нужно:

1. Определить математические ожидания случайных величин и по формулам:

,

;

2. Определить дисперсии случайных величин и по формулам:

,

;

3. Определить среднеквадратичные отклонения случайных величин и по формулам:

,

;

4. Определить коэффициент корреляции случайных величин и по формуле:

;

5. Определить коэффициенты регрессии по формулам:

.

Важной проверкой составления регрессионной модели является знак :

- знак «+» означает, что изменение исследуемых параметров и имеет одинаковую тенденцию;

- знак «-» - разную тенденцию;

6. Составить регрессионную модель по формуле:

.

Пример. В течение ряда лет максимум нагрузки энергосистемы и годовая выработка электроэнергии имели следующие значения:

Решение. Для заданных параметров и определим основные статические характеристики.

Нагрузка потребителей :

,

.

Годовая выработка электроэнергии :

,

.

Определяем величину коэффициента корреляции:

Так как параметры и имеют одинаковую тенденцию изменения – оба увеличиваются, положительный знак при коэффициенте корреляции определен верно.

Запишем уравнение регрессии на :

,

,

.

Положительный знак у параметра в правой части уравнения регрессии свидетельствует об идентичной тенденции в изменении параметров, что соответствует истине.

Приняв из таблицы , по уравнению регрессии находим . В этом случае погрешность сглаживания будет равна

.