Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .
Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.
Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .
Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.
Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .
Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.
Пусть - матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением
.
Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений
.
Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.
Задачи
1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.
Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:
2. 3.
4.
5. Доказать, что .
Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:
6. . 7. . 8. .
3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Рассмотрим линейный оператор А, действующий в - мерном пространстве Х.
Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.
Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.
Если - матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения l и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:
1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):
.
2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:
матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.
Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы - собственными векторами матрицы .
Пример. Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей
1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :
.
Отсюда собственное значение , его кратность .
2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :
Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид
Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.
3.1.Оператор простой структуры.
Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид
,
где - собственные значения оператора. Очевидно, что верно и обратное: если в некотором базисе пространства Х матрица оператора имеет диагональный вид, то базис состоит из собственных векторов оператора.
Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов. Так как собственные векторы есть решения системы уравнений то, следовательно, каждому корню характеристического уравнения кратности , должна соответствовать матрица ранга .
Всякая матрица размера , соответствующая оператору простой структуры, подобна диагональной матрице
,
где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).
Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду
.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.
Откуда собственные значения кратности и кратности .
Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются
решением системы
Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор .
Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений
ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,
, , .
Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид
и связь между подобными матрицами и определяется соотношением
= .
Задачи
Найти собственные векторы и собственные значения
линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:
7. 8. 9.
10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.
11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в , имеет n различных значений, то любой линейный оператор В перестановочный с А, обладает базисом собственных векторов, причем любой собственный вектор А будет собственным и для В.
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
Определение 1.. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора его образ также принадлежит .
Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:
1. Если и являются инвариантными подпространствами относительно оператора А, то их сумма и пересечение также инвариантны относительно оператора А.
2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств и () и инвариантно относительно А, то матрица оператора в базисе, который является объединением базисов и есть блочная матрица
,
где - квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.
3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
Пример 1. Рассмотрим ядро некоторого оператора А, действующего в Х. По определению . Пусть . Тогда , так как нулевой вектор содержится во всяком линейном подпространстве. Следовательно, ядро - инвариантное относительно А подпространство.
Пример 2. Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей
.
Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А.
Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А.
Составим и решим характеристическое уравнение
.
Откуда собственные значения кратности и кратности . Первое собственное значение простое. Соответствующий ему собственный вектор определяется системой уравнений
решая которую получим, например, .
Собственные векторы для определяются уравнением
,
имеющим два линейно независимых решения, например, и . Таким образом, в нашем случае существует базис из собственных векторов.
Пусть теперь . Тогда вектор . Воспользовавшись теперь определением инвариантного подпространства, получим, что инвариантными будут следующие подпространства:
1. Прямая с базисным вектором .
2. Прямые с базисными векторами и .
3. Линейная оболочка векторов , т.е. плоскость, задаваемая уравнением .
4. Линейные оболочки векторов и .
5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.
Задачи
1. Линейный оператор А задается в базисе
матрицей
.
Показать, что линейная оболочка векторов и является подпространством инвариантным относительно оператора А.
2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством.
3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей
.
4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами
.
5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .
6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 2465 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!