Алгебраїчні властивості

Нехай функція інтегруєма за Ріманом на будь-якому відрізку , де може бути як скінченним, так і нескінченним. Нагадаємо, що запис означає, що функція необмежена в точці (невласний інтеграл другого роду), або (невласний інтеграл першого роду).

Згідно з властивістю визначеного інтеграла

.

Звідки і одержимо достатню умову: якщо збігається, то і збігається (безумовно, за умови, що на будь-якому функція інтегруєма).

Так, наприклад, буде збіжним інтеграл за умови, що збігається (нагадаємо, що ).

Означення 2.1. Якщо збігається, то кажуть, що абсолютно збігається.

Таким чином,

1) коли кажуть, що абсолютно збігається, то тут міститься і твердження, що сам інтеграл також збігається;

2) якщо на функція , то збіжність одночасно буде і абсолютною збіжністю;

3) якщо , то функція зростає разом із . Тоді для того, щоб існував , необхідно і достатньо, щоб інтеграли були обмеженими зверху.

Цей результат є аналогом критерію збіжності монотонно зростаючої обмеженої послідовності.

4) інтеграл може збігатись, але не абсолютно, тобто при цьому розбігається, . Приклад такої функції ми приведемо пізніше, в теорії рядів. Такий інтеграл називають умовно збіжним.

Компактним інтервалом (відрізком) на називають обмежений замкнутий інтервал .

Алгебраїчні властивості інтегралів на (кажуть “на некомпактному проміжку ”) зрозумілі, але необхідно попередньо упевнитись, що функції визначені на одному і тому ж проміжку і що інтеграли від них збігаються. А тому:

1. Якщо існує, то .

2. Якщо і існують, то

Таким чином, множина функцій , інтегруємих на некомпактному проміжку і таких, що збігаються, є лінійним простором і відображення є лінійна форма.