Непараметрические критерии

Правильное применение параметрических критериев для проверки статистических гипотез основано на предположении о нормальном распределении совокупностей, из которых взяты сравниваемые выборки. Однако это не всегда имеет место, так как не все биологические признаки распределяются нормально. Немаловажным является и то обстоятельство, что исследователю приходиться иметь дело не только с количественными, но и качественными признаками, многие из которых выражаются порядковыми номерами, индексами и другими условными знаками. В таких случаях необходимо использовать непараметрические критерии.

Известен целый ряд непараметрических критериев, среди которых видное место занимают так называемые ранговые критерии, применение которых основано на ранжировании членов сравниваемых групп. При этом сравниваются не сами по себе члены ранжированных рядов, а их порядковые номера, или ранги.

Х-критерий Ван-дер-Вардена. Этот критерий относится к группе ранговых критериев, его применяют для проверки нулевой гипотезы при сравнении друг с другом независимых выборок. Техника расчетов Х-критерия сводится к следующему. Сравниваемые выборки ранжируют в один общий ряд по возрастающим значениям признака. Затем каждому члену ряда присваивается порядковый номер, отмечающий его место в общем ранжированном строю. Далее по порядковым номерам одной из выборок, обычно меньшей по объему, находят отношение , где – сумма всех членов сравниваемых групп, а R – порядковый номер членов ряда, их “ранг”.

С помощью специальной таблицы находят значения функции для каждого значения . Суммируя результаты (обязательно с учетом знаков!), получают величину , которую сравнивают с критической точкой этого критерия X_st для принятого уровня значимости α и общего числа членов сравниваемых выборок N.

Нулевая гипотеза сводится к предположению, что сравниваемые выборки извлечены из генеральных совокупностей с одинаковыми функциями распределения. Если окажется, что , нулевая гипотеза должна быть отвергнута на принятом уровне значимости α.

U-критерий Уилкоксона (Манна-Уитни). Гипотезу о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной и той же генеральной совокупности или совокупностям с одинаковыми параметрами, т.е. Н₀-гипотезу, можно проверить с помощью рангового критерия Уилкоксона (Манна-Уитни).

Для расчета U-критерия необходимо: 1. Расположить числовые значения сравниваемых выборок в возрастающем порядке в один общий ряд и пронумеровать члены общего ряда от 1 до . (Эти номера и будут “рангами” членов ряда). 2. Отдельно для каждой выборки найти суммы рангов R и определить величины

и

,

которые отображают связь между суммами рангов первой и второй выборки. 3. В качестве U-критерия использовать меньшую величину U_ф, которую сравнить с табличным значением U_st. Условием для сохранения принятой нулевой гипотезы служит неравенство . Критические точки U-критерия U_st для n₁, n₂ и принимаемого уровня значимости α.

Критерий знаков z. В тех случаях, когда результаты наблюдений выражаются не числами, а знаками плюс (+) и минус (–), различия между попарно связанными членами сравниваемых выборок оценивают с помощью критерия знаков z. Конструкция этого критерия базируется на весьма простых соображений: если попарно сравниваемые значения двух зависимых выборок существенно не отличаются друг от друга, то число плюсовых и минусовых разностей окажется совершенно одинаковым; если же заметно преобладают плюсы или минусы, это будет указывать на положительное или отрицательное действие изучаемого фактора на результативный признак. Большее число однозначных разностей служит в качестве фактически найденной величины z-критерия знаков. При этом нулевые разности, т.е. случаи, не давшие ни положительного, ни отрицательного результата, обозначаемые цифрой 0, в расчет не принимают и число парных наблюдений соответственно уменьшается.

Как и всякий другой выборочный показатель, z-критерий знаков является величиной случайной; он служит для проверки Н₀-гипотезы, т.е. предположения о том, что совокупность или совокупности, из которых взяты сравниваемые выборки, имеют одну и ту же или одинаковые функции распределения. Н₀-гипотеза отвергается, если для принятого уровня значимости α и числа парных наблюдений n, взятых без нулевых разностей.

T-критерий Уилкоксона. Когда члены сравниваемых выборок связаны попарно некоторыми общими условиями (зависимые выборки), различия между ними с достаточной точностью оценивается с помощью рангового критерия Уилкоксона T. Парный T-критерий Уилкоксона является более мощным, чем критерий знаков. T-критерий рассчитывают следующим образом. 1. Ранжируют попарные разности, как положительные, так и отрицательные, в один общий ряд. При этом нулевые разности в расчет не принимают, а все остальные независимо от знака ранжируют так, чтобы наименьшая абсолютная разность получила первый ранг, причем одинаковым по величине разностям присваивают один и тот же ранг. 2. Находят отдельно суммы положительных и отрицательных разностей. Меньшую из двух сумм разностей, без учета ее знака, используют в качестве фактически установленной величины T-критерия. 3. Сравнивают эту величину T_ф с критическим значением T_st для принятого уровня значимости α и числа парных наблюдений n, которое берут без нулевых разностей. Нулевую гипотезу отвергают, если . Если , нулевую гипотезу не учитывать нельзя.