Теорема Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.

Док-во

1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " m£xn£M, " n.

D1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.

D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎDk.

Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда $ т-ка с Ì (a,b) в которой ф-ция обращается в 0.

Док-во

Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)<0. Мн-во Х не пустое. ХÎ [a,b], значит х ограничено, поэтому оно имеет точную верхнюю грань. c=supx. a£c£b покажем a<c<b по т-ме об уст. знака, поэтому c¹a, c¹b. Предположим f(c)=0, что это не так, тогда $ окрестность т-ки с в пределах которой ф-ция сохраняет знак, но это не можетбыть, т.к. по разные стороны т-ки с ф-ция имеет разный знак. f(с)=0.

Теорема Вейерштрасса Непрерывная ф-ция на отрезке ограничена.

Док-во Предположим что ф-ция не ограничена. Возьмем целое пол-ное n, т.к. ф-ция не ограничена, то найдется xnÎ[a,b], такое что ½f(xn)½>n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnk$®x0. По т-ме о предельном переходе к неравенству.

a£xnk£b a£x0£b x0Î[a,b]

Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0)

½f(xnk)½>nk, a nk®¥Þ½f(xnk)½®¥, т.е. f(xnk) б/б посл-ть.

С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к ¥, пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно.