Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где .

,

(интегрируя предыдущую формулу)

, .

Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра

Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора.

.

Если ряд Тейлора сходится к , то . Но по формуле Тейлора . Следовательно, .

Достаточность. Если , то , а - частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции .

Теорема. Пусть все производные функции ограничены в совокупности одной константой. Тогда ряд Тейлора сходится к функции .

Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора

, так как показательная функция растет медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функции .

В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.

В разложении функции e^x на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой e^b, поэтому ряд для функции e^x сходится к ней на любом конечном отрезке.

Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.

Рассмотрим разложение в ряд функции . Предположим, что ряд сходится к функции . Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливость соотношения (выведите его в качестве упражнения). Решая это дифференциальное уравнение, получим .