Предельная форма признака Даламбера

Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Если , то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

Доказательство. Пусть . Тогда .

При малом . По конечной форме признака Даламбера ряд сходится.

Пусть . Тогда . При малом , то есть . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит произведение некоторых чисел или факториал.

Правда, если общий член ряда содержит факториал, то его можно заменить по формуле Стирлинга и применять второй признак сравнения.

Пример. .

. Ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример. . Рассмотрим , так как последовательность , монотонно возрастая, стремится к при , то

. Следовательно, . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Заметим, что . Поэтому признак Даламбера в предельной форме не дает ответ о сходимости или расходимости ряда, хотя признак в конечной форме позволяет установить расходимость ряда.