Дифференциальные операции второго порядка

В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .

К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.

От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле .

От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля , и векторные поля , .

Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля , и векторные поля , , .

Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. =0.

Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. =0.

Доказательство.

= .

Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.

= , =

Известно соотношение . Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим

.

Здесь - оператор Лапласа (скаляр – оператор).

.

- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор .